量子力學 or 線性代數（六——動量、能量）

不知不覺中，我們量子力學的博客入門學習已經進入到第六課的學習中了。客觀的講，還是比較難的，特別是對於我這種高中基礎不紮實，大學學的專業和量子力學關係不是很大的單身狗程序員來說，而且在學習對的過程中我們總是不斷的引入新的公式和概念，往往半天下來，感覺自己啥也沒學到，。但是你懂得，其實一個人在焦躁與難受，想要放棄的時候 學的知識才會更加的刻骨銘心！！每當我準備把電腦一關，手機TIMI一開， 準備撂挑子不幹的時候，我就會覺得：怎麼能這樣，XXX，你的夢想呢？報負呢？被狗吃了麼？（請允許我在這裏 冠冕堂皇一次hhヽ(°▽、°)ﾉ），所以在這裏 ，希望小夥伴們能咬咬牙堅持下去！！

一 . 動量與能量

我們先來回顧上一次學習的 薛定諤方程:
$i\bar{h}\frac{\partial }{\partial t} \psi \left ( x,t \right ) =\left ( -\frac{\bar{h}^{2}}{2m} \frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}+ V\right )\psi \left ( x ,t\right )$
在前面我們爲了推導這個巨複雜的公式，在推導的過程中我們引入了兩個新的公式：
一個是座標表象下動量算符的具體形式：
$\widehat{p} = - i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x}$
另一個是態矢量的時間變化率與能量算符(哈密頓算符 )之間的關係：
$\frac{\partial }{\partial t}|\psi > =\frac{ \widehat{H}}{i\bar{h}}|\psi >$

在第一次接觸這兩個公式的時候，我們大部分同學都是比較懵的，下面，我們將詳細的爲大家介紹這2個公式以幫助大家更加深刻的理解薛定諤方程！

我們在第四次博客學習的中提到過，一個算符 $\widehat{F}$ 對應一組本徵值和本徵態，並且滿足本徵值關係：
$\widehat{F}|\alpha > = F_{a}|\alpha >$
並且我們知道，如果我們能找到它的本徵態在某個表象下的具體形式，並且在具體計算中得到上述關係，那麼我們也就能相應地找到 $\widehat{F}$ 的具體形式。

如果有小夥伴忘記了，戳這裏複習…

下面，高能預警，我們可能會遇到更多的新知識，堅持就是勝利。。。。

奇思妙想的同學們可能會提問：有沒有一些同時具有確定動量和能量的態，它們既是動量的本徵態，也是能量的本徵態？ 這樣的話 ，我們是不是能在某種程度上結合這2個式子呢？

但是，又有同學會問，根據不確定性原理，兩個物理量不是不能同時確定嗎？？

其實，不確定性原理的針對 對象是兩個共軛的物理量，像動量與位置，時間和能量，而對於動量與能量來說，是可以同時確定的！換個說法，我們高中就學過，動量 $p=mv$,而 $\frac{p^{2}}{2m}=E_{k}$,我們可以隨時將動量轉化爲能量，所以其實他兩的本質是一致的~

所以說，理論上講，我們是可以找到這樣的一個本徵態，既是動量的本徵態，也是能量的本徵態！

其實啊，早在高中的學習中我們就見過它了？ 德布羅意波？想起來沒有？

正所謂： 世界上並不缺少美，而是缺少發現美的眼睛——羅丹

德布羅意波，是一類特殊的波函數，具有確定的波長 $\lambda$ ,和頻率 $v$,並且有公式如下($h$表示普朗克常數)：
$p= \frac{h}{\lambda } , E=hv$
其次我們再來將波長和頻率的簡諧波寫成三角函數形式：
$\phi \left ( x,t \right )= cos\left ( \frac{2 \pi}{\lambda }x - 2\pi vt + \varphi \right )$
這個式子太複雜了，我們用 $k= \frac{2\pi}{\lambda },\omega = 2\pi v$來代替，其中：

$k$ 稱爲波數，它指的是一個 $2\pi$ 長度的範圍內的波的個數(不必爲整數 )；$\omega$是叫頻率，這些東西高中都是應該滾瓜爛熟的，在這裏就不贅述了！

所以，化簡後我們得到: $\phi \left ( x,t \right ) =cos\left ( kx-\omega t \right )$，同理，根據前面的兩的個替換式，我們還能將德布羅意波的兩個式子改成(其中,$\bar{h} = \frac{h}{2\pi}$, 叫做約化普朗克常數)：
$p= \bar{h}k ,E= \bar{h}\omega$
注意，這兩個式子也就是相對應的動量本徵值和能量本徵值。

接下來，我們將引入歐拉公式，其目的也就是爲了我們後面的推導尋求一種更簡便的方法：

$e^{i\theta } = cos\theta + isin\theta$
我們改寫一下原來的波函數得到： $\phi \left ( x,t \right ) =cos\left ( kx-\omega t \right )$得到：
$\phi \left ( x,t \right ) = e^{i(kx-\omega t)}$

特別注意：前面第一個式子是實數形式解，寫成後面那個複數形式同樣解同樣落足原方程！複數形式（特別度是指數形式版的那個）運算起來簡便，量子力學中都取這種形式。因此這屬於解的不同表達，並不是此解推出了那解，也絕非是用權歐拉公式轉換之類。

顯然這是一個波函數，下面我們將用動量算符 $\widehat{p} = - i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x}$作用在這個（雙）本徵態上並看看結果如何：

$- i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x} \phi \left ( x,t \right ) = - i\bar{h}\frac{\partial }{\partial x} e^{i(kx-\omega t)}$
再求這個式子關於$x$的偏導可得到：
$-i\bar{h}(ik) e^{i(kx-\omega t)} = \bar{h}k e^{i(kx-\omega t)} = p\phi \left ( x,t \right )$
妙啊！！ 結果正好等於前面替換的那個$p= \bar{h}k$,現在我們就可以得到：
$\widehat{p} |\phi >= p\phi |>$
大家閒來無事的時候也可以計算一下時間變化率與哈密頓算符之間的關係式，和上面我們說的基本思路一樣。。。。
到此爲止，我們就從德布羅意關係出發、通過本徵值關係式“證明”了動量算符的座標表象的確是我們上次博客薛定諤方程中給出的微分算子形式。