循序渐进，得到动态规划解法

486. 预测赢家

给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家1从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家2继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家1拿，……。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。

给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例

输入: [1, 5, 233, 7]
输出: True
解释: 玩家1一开始选择1。然后玩家2必须从5和7中进行选择。无论玩家2选择了哪个，玩家1都可以选择233。
最终，玩家1（234分）比玩家2（12分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家1可以成为赢家。
注意:

1 <= 给定的数组长度 <= 20.
数组里所有分数都为非负数且不会大于10000000。
如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家1仍为赢家。

解题思路

本题的思考过程就展现在代码中了。注意这类博弈问题（也就是minmax问题）如果直接返回本轮先手-后手差值，那么就不必纠结啥时候取min啥时候取max了。

p.s. 本题动态规划解法部分dp[i][j]表示的是nums[i…j]序列所对应的那一轮的先后手的先手-后手差值的最大值。这里有一个很神奇的结论：任何一个序列，对应的该轮的先后手是唯一确定的。

代码

// 版本1：递归版本 296ms
class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if(len & 1 == 0)    return true;
        
        if(GetScoreDiff(nums, 0, len - 1) >= 0)   return true;
        else return false;
    }
    
    // 获得(每一轮)先手-后手的分数差的最大值
    int GetScoreDiff(vector<int>& nums, int l, int r) {
        int len = r - l + 1;
        if(len <= 1) return nums[l];    // 数组只剩下一个元素了
        int a = nums[l], b = nums[r];
        return max(a - GetScoreDiff(nums, l + 1, r), b - GetScoreDiff(nums, l, r - 1));
    }
};

// 版本2：递归 + 记忆化 8ms
class Solution {
private:
    int** dp;
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if(len & 1 == 0)    return true;
        
        dp = new int*[len];
        for(int i = 0; i < len; i++)
            dp[i] = new int[len];
        
        for(int i = 0; i < len; i++)
            for(int j = 0; j < len; j++)
                dp[i][j] = 0x3f3f3f3f;
        
        if(GetScoreDiff(nums, 0, len - 1) >= 0)   return true;
        else return false;
        
    }
    
    // 获得(每一轮)先手-后手的分数差的最大值
    int GetScoreDiff(vector<int>& nums, int l, int r) {
        int len = r - l + 1;
        if(len <= 1) return nums[l];    // 数组只剩下一个元素了
        if(dp[l][r] != 0x3f3f3f3f)  return dp[l][r];
        int a = nums[l], b = nums[r];
        dp[l][r] = max(a - GetScoreDiff(nums, l + 1, r), b - GetScoreDiff(nums, l, r - 1));
        return dp[l][r];
    }
};


// 版本3：递推(消除尾递归) 4ms
class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if(len & 1 == 0)    return true;
        
        if(GetScoreDiff(nums) >= 0)   return true;
        else return false;
    }
    
    // 获得(每一轮)先手-后手的分数差的最大值
    int GetScoreDiff(vector<int>& nums) {
        int len = nums.size();
        if(len <= 1) return nums[0];    // 数组只有一个元素
        vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(len));
        for(int i = len - 1; i >= 0; i--) {     // i = len - 1时根本不会执行内层循环，不会越界
            dp[i][i] = nums[i];
            for(int j = i + 1; j < len; j++) {
                dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[0][len - 1];
    }
};