圖文並茂詳解經典算法系列-1：根據指定兩種序列構造二叉樹

0x01.問題

從前序與中序遍歷序列構造二叉樹

根據一棵樹的前序遍歷與中序遍歷構造二叉樹。
注意:
你可以假設樹中沒有重複的元素。

例如，給出：

前序遍歷 preorder = [3,9,20,15,7]
中序遍歷 inorder = [9,3,15,20,7]

返回如下的二叉樹：

0x02.算法詳細分析

我們知道，根據前序序列和中序序列是可以完全確定一棵二叉樹，那麼我們是怎麼根據前序序列和中序序列去確定這個這棵樹的呢？我們一起來探究一下。

1.第一個問題：我們要明白，前序序列和中序序列是怎麼得到的？

• 這應該是比較基礎的二叉樹知識了。

• 二叉樹的前序序列得到的方式：

  • 遍歷根節點。
  • 遞歸遍歷左子樹。
  • 遞歸遍歷右子樹。

• 二叉樹的中序序列得到的方式：

  • 遞歸遍歷左子樹。
  • 遍歷根節點。
  • 遞歸遍歷右子樹。

2.第二個問題：前序序列和中序序列中的值是怎樣對應原來樹中的結構的呢？

• 一定要將這個序列和原來的樹結合起來，知道序列中的值是如何分佈的，才能夠還原原來的那棵二叉樹。

• 根據上面得到序列的方式，我們應該不難得到，下面的這個關係：
  

• 也就是說，前序序列的根節點在最前面，然後是左子樹，然後是右子樹。

• 中序序列中先是前序序列，然後是根節點，然後是右子樹。

• 知道序列中是怎麼分佈後，我們似乎還沒有能夠構造出完整的樹的思路，因爲我們似乎遇到了一個困難：

  • 假如我們第一個以前序序列的第一個節點構造了樹的根節點，下一個節點如何尋找？根節點的左右子樹到底在序列的哪個位置？

3.深度思考一下第三個問題：如何去序列中尋找對應的左右子樹？

• 既然根節點是前序序列的第一個節點，那麼根節點的左子樹如何尋找？

  • 其實很簡單了，左子樹就是前序序列的第二個節點，因爲前序序列就是先遍歷左子樹，再遍歷右子樹，所以，左子樹就很好尋找了。

• 那麼右子樹如何去尋找呢？

  • 我們最原始的想法很簡單，就是去找到這個位置就可以了。
    

• 因爲這個位置是右子樹的第一個節點，也就是根節點的右子樹。

• 那麼問題來了，中間這段距離怎麼求，也就是左子樹的數目。

• 不要想當然的認爲左子樹和右子樹的數量是相等的，因爲問題只說了是二叉樹，並沒有說是什麼特殊的二叉樹，所以並不能確定左子樹的數量。

• 這個時候，不要忘記，我們還有一箇中序序列，這個中序序列和前序序列所對應的二叉樹可是相同的，所以自然左子樹的數目也是相同的。

• 我們的想法是，要是知道根節點在中序序列中的位置，左子樹的數量就可以確定下來了。
  

• 而題目中說了，保證節點的值是唯一的，所以，只要一個個找，肯定是能找到的。

• 但是這樣查找就比較浪費時間，我們可以維護一個哈希表，每次去哈希表中查找，就能把時間的複雜度降下來。

4.具體的算法思路？

• 在上面的分析中，我們確定了基本的思路，也就是依次尋找根節點，左子樹，右子樹。

• 而在樹中，這個過程肯定是可以抽取出來的，也就是可以使用遞歸的方式將這個過程表示出來。

• 細節： 每一次遞歸需要哪些參數呢？

  • 由於需要確定序列中左右子樹的邊界，所以對於每種序列來說，左右邊界當然是需要的。

• 細節：初始化？

  • 初始化條件是0，n-1。

• 細節：遞歸退出的條件？

  • 當左邊界大於右邊界時，遞歸退出。

0x03.算法–從前序與中序遍歷序列構造二叉樹

class Solution {

    private Map<Integer,Integer> indexMap;

    private TreeNode toBuildTree(int[] preorder,int[] inorder,int pre_left,int pre_right,int in_left,int in_right){
        //遞歸終止條件
        if(pre_left>pre_right){
            return null;
        }
        //建立根節點
        TreeNode root=new TreeNode(preorder[pre_left]);
        //得到中序序列中根節點的下標
        int in_root=indexMap.get(preorder[pre_left]);
        //得到前序序列中左子樹的長度
        int size_left=in_root-in_left;
        //遞歸建立左子樹
        root.left=toBuildTree(preorder,inorder,pre_left+1,pre_left+size_left,in_left,in_root-1);
        //遞歸建立右子樹
        root.right=toBuildTree(preorder,inorder,pre_left+size_left+1,pre_right,in_root+1,in_right);
        return root;
    }

    public TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
        int n=preorder.length;
        if(n!=inorder.length){
            return null;
        }
        indexMap=new HashMap<>();
        for(int i=0;i<n;i++){
            indexMap.put(inorder[i],i);
        }
        return toBuildTree(preorder,inorder,0,n-1,0,n-1);
    }
}

細節理解：關於邊界參數的變換，都在這張圖裏可以表示出來：