我們在生活中用到數字，都是以十進制的方式計數的。稍有計算機常識的人都知道，計算機中是以二進制的方式計數的，另外在計算機中表示顏色經常會用到十六進制的數字，此外在其他一些領域還會用到八進制的數字。那麼二進制、八進制、十進制、十六進制的數字，究竟是怎樣計數的？它們之間是怎樣相互換算的？本文就來詳細說說這兩個問題。
一、多種進制的計數方法
首先來說我們最熟悉的十進制。十進制計數法有10個原始的數字，分別是0-9，當我們想表示一個比9還大1的數字時，1個數位就不夠用了，必須用兩位數來表示，就是10，再比10大1的數是11...以此類推這樣就能表示出任意大的數字。
而計算機中使用的二進制計數法，二進制計數法只有兩個原始數字，就是0和1，想表示比1還大1的數字就需要用兩位數來表示，就是10，之後是11，再之後是100...二進制計數法中最大的數字就是1，再增加的話就要進位了。這樣以此類推也能表示任意一個數字。
通過學習二進制計數法，想必大家已經知道八進制數的特點了，那就是總共有8個原始數字，分別是0-7，當表示比7還大1的數字時，就必須進位了。
那麼再來說說十六進制計數法。十六進制計數法中，有16個原始數字，前10個原始數字我們就用0-9來表示，但我們習慣使用的阿拉伯數字只有0-9這10個數字，現在還差6個原始數字，怎麼辦呢？我們就用字母去代替，這樣的話第11個原始數字就A，第12個原始數字就是B，以此類推，第16個原始數字就是F。這個F換算成10進制數其實就是15。當表示比F還要大1的數字，就需要進位了，所以F再向後數就是10，11...小夥伴們可能非常不習慣16進制的技術方法，因爲突然跑出來一些字母來表示一個數字，其實用多了自然也就習慣了。
二、數制的相互轉換
下面我們來說說這些數制之間如何相互轉換。剛纔提到的4種進制的數字，相互轉換的話有12種情況，請看下圖：
從這幅圖片上大家可以看到,各種數制之間相互轉換情況的所有情形：四種數制之間相互連線，總共可以連12條線。很多小夥伴的第一反應就是：這麼多種情況，又要記很多轉換規則。其實大可不必擔心，我們可以把這12中情況分成3種類型，並且掌握每種類型的算法就可以了。12種情況可以分成以下三類
- 其他進制的數轉換爲10進制
- 10進制的數轉換爲其他進制的數
- 其他數制之間相互轉換
首先我們來說說其他進制的數怎樣轉換爲10進制的數。當我們拿到一個10進制的數字，比如168，那麼168爲什麼是168呢？小夥伴們都會說這不是廢話嗎？168不是168還能是多少？其實168這個數字是由3個原始數字1、6和8組成的，這3個原始數字分別佔據百位、十位和個位，這樣，我們可以把168這個數字分解成以下形式：
以上算式運算得到的值是168，所以1、6和8這3個原始數字排列起來就能表示168。
這裏需要強調一個細節，因爲我們現在討論的是10進制的數字，這三個原始數字都是乘以以10爲底的n次方。按照這個原理，如果討論的是2進制數字，那麼計算一個數就應該是原始數字乘以以2爲底的n次方，然後再把各個數字相加，最後就能得出這個數字的具體值了，比如一個二進制數101，按照剛纔的算法，可以把101分解成以下形式：
以上算式運算得到的值是5。這就是二進制轉換爲10進制數的基本原理。
同樣的，我們也可以把十六進制和八進制的數轉換爲十進制，比如十六進制的數1AF，可以分解成如下形式：
我們在運算時把A和F直接替換成對應的十進制數就是10和15，以上算式運算最終得到的十進制數就是431。通過幾個例子，相信大家已經掌握了其他進制的數轉換爲十進制數的算法。這個算法的套路就是把各個位上的數字與M爲底的n-1次方相乘，然後把相乘的結果都加起來，需要注意的是：幾進制轉換十進制，那麼M就是幾，比如要把二進制轉換爲十進制，這個M就是2。而所謂的n就是從右邊數第幾位，比如對於從右邊數第3位的數字，n就是3，而n-1就是2。
剛纔我們講的是第一種類型，就是把其他進制的數字轉換爲十進制，下面我們再來說說十進制的數如何轉換爲其他進制的數。十進制的數如何轉換爲其他進制的數算法我們可以稱之爲“輾轉求餘法”。所謂“輾轉求餘法”就是指不斷的用十進制的數字除以N，直到商爲零爲止，之後把每次除法操作所得到的餘數串起來就完成了轉換。這裏要說明的是，如果是希望轉換爲二進制的數，那麼就是不斷除以2，同理，如果是希望轉換爲八進制的數，就不斷的除以8。我們就以十進制轉換爲二進制爲例來爲大家講解這個算法。比如我們要把十進制的數字13轉換爲2進制，就可以用以下方式完成轉換：
運算的過程如上圖所示：把13除以2，得到的商如果不爲0，那麼就以除法得到的商繼續除以2，一直到商爲0爲止，最後把每次除法操作所得到的餘數從下到上串起來，得到的結果就是1101。
下面再來講一個十進制數轉換爲十六進制數的例子。比如把1835這個數字轉換爲十六進制，算法是一樣的，只不過這次是不斷的用這個數字除以16，過程如下圖所示：
把餘數中大於9的餘數替換爲字母，也就是把11替換爲B，這樣就得到了1835轉換爲十六進制的數字爲72B
以上我們已經講解了數制之間轉換的兩種類型，分別是其他進制轉換爲十進制和十進制轉換爲其他進制。現在就只剩第三種，那就是其他進制數字之間的轉換。首先我們講一下二進制轉換爲十六進制數的算法。在講算法之前，必須先講一下二進制數和十六進制數有什麼關係。我們知道，二進制數只有兩個原始數字分別是0和1，也就是說，二進制數的每一個位只有兩種情形，非0即1。按照排列組合的算法，如果我們想排列出4種情形，只用1位二進制數是無法實現的，因爲二進制數的每一個位只有2種情形。要排列出4種情形，那必須用2位數，同理，想排列出8種情形，要用3位數，想排列出16種情形，必須用4位數。而十六進制數有16個原始數字，也就是說十六進制數僅僅1個位上的數字就都有16種變化的可能性。那麼這樣我們就很容易理解一個道理，那就是：十六進制數的1位所能表示的數字，相當於二進制數4位所能表示的數字。
按照這種思想，我們把二進制數轉換爲十六進制的數時，首先把每4位二進制數劃分爲一組，把每一組二進制數字分別轉換爲一位十六進制數。劃分時候從最右邊開始，每4位分爲1組，如果劃到左邊發現不夠4位時，就讓剩餘的這幾個數單獨劃分爲一組。例如，二進制數101 1011 1000 1110轉換爲十六進制數過程如下：
如上圖所示：從右邊開始，每4位分爲一組，左邊不足4位的單獨劃分爲一組，之後把每組二進制數先轉爲十進制數，然後把大於9的數字用字母代替，最後就產生了轉換的結果5B8E。
這個例子是把二進制數字轉換爲十六進制，在轉換的時候是把4位二進制數劃分爲一組進行轉換，如果想把一個二進制數字轉換爲八進制數該怎麼辦呢？很多同學肯定會立刻想到，在轉換的時候把3位二進制數劃分爲一組，爲什麼是3位劃分一組呢？原因很簡單，就是因爲每3位二進制數可以排列出8種情形，而八進制數每1位數字就有8種變化的可能性。
我們仍然用剛纔這個二進制數字進行舉例，其轉換過程如下：
轉換結果爲55616。因爲3位二進制數不可能組合出比8還大的數字，所以不會出現用字母替換數字的情況，那麼我們所得到的這個數字本身就已經是一個八進制數了。
以上講解的是用二進制數轉換爲十六進制和八進制數，那麼八進制數怎麼轉爲二進制數十六進制數如何轉換爲八進制數？八進制怎麼轉化爲十六進制等等。這幾種情況確實不太容易直接轉換，其實大家也不必擔心，我們可以用兩步來實現，首先把某種進制的數字轉成十進制數，以十進制數爲媒介，再轉換爲另一種數制就可以了。比如就拿剛纔的數字來說，如果我們希望把八進制數字55616轉換爲十六進制數，可以先把這個八進制數轉換爲十進制數23438，再把十進制的數字23438轉換爲十六進制數5B8E就可以了。總之，所有不方便轉換的情況，都可以先轉換爲十進制數，然後再進行二次轉換。這樣，任意兩種數制之間就都能夠實現相互轉換了。
如想系統學習Java編程，可以點擊這裏觀看我在本站的視頻課程，有問題也可以加入我的QQ羣291839907一起討論。