week14 作业C Q老师的考验

Q老师 对数列有一种非同一般的热爱，尤其是优美的斐波那契数列。

这一天，Q老师 为了增强大家对于斐波那契数列的理解，决定在斐波那契的基础上创建一个新的数列 f(x) 来考一考大家。数列 f(x) 定义如下：

当 x < 10 时，f(x) = x；
当 x ≥ 10 时，f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10)，ai 只能为 0 或 1。

Q老师 将给定 a0～a9，以及两个正整数 k m，询问 f(k) % m 的数值大小。

聪明的你能通过 Q老师 的考验吗？

输入：
输出文件包含多组测试用例，每组测试用例格式如下：

第一行给定两个正整数 k m。（k < 2e9, m < 1e5）

第二行给定十个整数，分别表示 a0～a9。

输出：
对于每一组测试用例输出一行，表示 f(k) % m 的数值大小。

样例输入：
10 9999
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 500
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

样例输出：
45
104

由于数据k < 2e9, m < 1e5，所以需要用矩阵快速幂来解决。
由公式f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10)可以构造出矩阵。

	    f(n)    a0   a1  a2   a3   a4   a5   a6   a7   a8   a9    f(n-1)
	    f(n-1）  1   0    0    0    0    0    0    0    0    0    f(n-2)
	 	f(n-2)   0   1    0    0    0    0    0    0    0    0    f(n-3)
		f(n-3)   0   0    1    0    0    0    0    0    0    0    f(n-4)
		f(n-4)   0   0    0    1    0    0    0    0    0    0    f(n-5)
ans[n]= f(n-5) = 0   0    0    0    1    0    0    0    0    0  × f(n-6)
		f(n-6)   0   0    0    0    0    1    0    0    0    0    f(n-7)
		f(n-7)   0   0    0    0    0    0    1    0    0    0    f(n-8)
		f(n-8)   0   0    0    0    0    0    0    1    0    0    f(n-9)
		f(n-9)   0   0    0    0    0    0    0    0    1    1    f(n-10)

ans[n]=t^(n-9)*ans[9]，t是上面10×10的矩阵。

#include<iostream>
#include<string.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=10;
ll k,m;
struct Matrix{
	ll x[N][N];
	Matrix operator*(const Matrix& t)const
	{
		Matrix ret;
		for(int i=0;i<N;i++)
		{
			for(int j=0;j<N;j++)
			{
				ret.x[i][j]=0;
				for(int k=0;k<N;k++)
				{
					ret.x[i][j]+=x[i][k]*t.x[k][j]%m;
					ret.x[i][j]%=m;
				}
			}
		}
		return ret;
	}
	Matrix() 
	{
		memset(x,0,sizeof(x));
	}
	Matrix(const Matrix& t)
	{
		memcpy(x,t.x,sizeof(x));
	}
};
Matrix quick_pow(Matrix a,int x)
{
	Matrix ret;
	memset(ret.x,0,sizeof(ret.x));
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		ret.x[i][i]=1;
	}
	while(x)
	{
		if(x&1)
		{
			ret=ret*a;
		}
		a=a*a;
		x>>=1;
	}
	return ret;
}
 
int main()
{
	while(cin>>k>>m)
	{
		Matrix ma;
		for(int i=0;i<10;i++)
		{
			cin>>ma.x[0][i];
		}
		for(int i=1;i<10;i++)
		{
			ma.x[i][i-1]=1;
		}
		Matrix tmp=quick_pow(ma,k-9);
		ll ans=0;
		for(int i=0;i<10;i++)
		{
			ans+=tmp.x[0][i]*(9-i);
			ans=ans%m;
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
}