Java數據結構和算法之動態規劃案例詳解

應用場景-揹包問題

揹包問題：有一個揹包，容量爲4磅 ， 現有如下物品

1）要求達到的目標爲裝入的揹包的總價值最大，並且重量不超出
2）要求裝入的物品不能重複

動態規劃算法介紹

1）動態規劃(Dynamic Programming)算法的核心思想是：將大問題劃分爲小問題進行解決，從而一步步獲取最優解的處理算法

2）動態規劃算法與分治算法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。

3）與分治法不同的是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。 ( 即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解 )

4）動態規劃可以通過填表的方式來逐步推進，得到最優解.

思路分析

代碼實現

package com.algorithm.dynamic;

public class KnapsackProblem {

	public static void main(String[] args) {
		int[] w = { 1, 4, 3 }; // 物品的重量
		int[] val = { 1500, 3000, 2000 }; // 物品的價值， 這裏val[i] 就是前面講的v[i]
		int m = 4; // 揹包的容量
		int n = val.length; // 物品的個數

		// 創建二維數組
		// v[i][j] 表示在前i個物品中能夠裝入容量爲j的揹包中的最大價值
		int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
		// 爲了記錄放入商品的情況，我們定義一個二維數組
		int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

		// 初始化第一行和第一列，這裏本程序中，可以不去處理，因爲默認是0
		for (int i = 0; i < v.length; i++) {
			v[i][0] = 0; // 將第一列設置爲0
		}
		for(int i = 0; i < v[0].length; i++) {
			v[0][i] = 0; // 將第一行設置爲0
		}
		
		// 根據前面動態規劃得到的公式處理
		for(int i = 1; i < v.length; i++) {  // 不處理第一行，i是從1開始
			for(int j = 1; j < v[0].length; j++) { // 不處理第一列，j是從1開始的
				// 公式
				if(w[i - 1] > j) { // 因爲我們的程序i 是從1開始的，因此原來的公式中的 w[i] 修改成w[i - 1]
					v[i][j] = v[i - 1][j];
				} else {
					// 說明：
					// 因爲我們的i是從1開始的，因此原來公式需要調整
					//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
					//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
					// 爲了記錄商品存放到揹包的情況，我們不能直接使用上面的公式，需要使用if-else來體現公式
					if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
						v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
						// 把當前記錄到path
						path[i][j] = 1;
					} else {
						v[i][j] = v[i - 1][j];
					}
				}
			}
		}
		
		// 輸出一下v ，看看目前情況
		for(int i = 0; i < v.length; i++) {
			for(int j = 0; j < v[i].length; j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		System.out.println();
		
		// 看下path的情況
		for(int i = 0; i < v.length; i++) {
			for(int j = 0; j < v[i].length; j++) {
				System.out.print(path[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		
		int i = path.length - 1; // 行的最大下標
		int j = path[0].length - 1; // 列的最大下標
		while(i > 0 && j > 0) { // 從path的最後找
			if(path[i][j] == 1) {
				System.out.printf("第%d個商品放入揹包\n", i);
				j -= w[i - 1];
			}
			i--;
		}
	}
}

運行結果