Java数据结构和算法之动态规划案例详解

应用场景-揹包问题

揹包问题：有一个揹包，容量为4磅 ， 现有如下物品

1）要求达到的目标为装入的揹包的总价值最大，并且重量不超出
2）要求装入的物品不能重复

动态规划算法介绍

1）动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2）动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

3）与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )

4）动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

思路分析

代码实现

package com.algorithm.dynamic;

public class KnapsackProblem {

	public static void main(String[] args) {
		int[] w = { 1, 4, 3 }; // 物品的重量
		int[] val = { 1500, 3000, 2000 }; // 物品的价值， 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
		int m = 4; // 揹包的容量
		int n = val.length; // 物品的个数

		// 创建二维数组
		// v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的揹包中的最大价值
		int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
		// 为了记录放入商品的情况，我们定义一个二维数组
		int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

		// 初始化第一行和第一列，这里本程序中，可以不去处理，因为默认是0
		for (int i = 0; i < v.length; i++) {
			v[i][0] = 0; // 将第一列设置为0
		}
		for(int i = 0; i < v[0].length; i++) {
			v[0][i] = 0; // 将第一行设置为0
		}
		
		// 根据前面动态规划得到的公式处理
		for(int i = 1; i < v.length; i++) {  // 不处理第一行，i是从1开始
			for(int j = 1; j < v[0].length; j++) { // 不处理第一列，j是从1开始的
				// 公式
				if(w[i - 1] > j) { // 因为我们的程序i 是从1开始的，因此原来的公式中的 w[i] 修改成w[i - 1]
					v[i][j] = v[i - 1][j];
				} else {
					// 说明：
					// 因为我们的i是从1开始的，因此原来公式需要调整
					//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
					//v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
					// 为了记录商品存放到揹包的情况，我们不能直接使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
					if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
						v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
						// 把当前记录到path
						path[i][j] = 1;
					} else {
						v[i][j] = v[i - 1][j];
					}
				}
			}
		}
		
		// 输出一下v ，看看目前情况
		for(int i = 0; i < v.length; i++) {
			for(int j = 0; j < v[i].length; j++) {
				System.out.print(v[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		System.out.println();
		
		// 看下path的情况
		for(int i = 0; i < v.length; i++) {
			for(int j = 0; j < v[i].length; j++) {
				System.out.print(path[i][j] + " ");
			}
			System.out.println();
		}
		
		int i = path.length - 1; // 行的最大下标
		int j = path[0].length - 1; // 列的最大下标
		while(i > 0 && j > 0) { // 从path的最后找
			if(path[i][j] == 1) {
				System.out.printf("第%d个商品放入揹包\n", i);
				j -= w[i - 1];
			}
			i--;
		}
	}
}

运行结果