14 Eratosthenes 篩選求質數

說明:除了自身之外，無法被其它整數整除的數稱之爲質數，要求質數很簡單，但如何快速的求出質數則一直是程式設計人員與數學家努力的課題， 在這邊介紹一個着名的Eratosthenes求質數方法。

 

解法:首先知道這個問題可以使用迴圈來求解，將一個指定的數除以所有小於它的數，若可以整除就不是質數，然而如何減少迴圈的檢查次數？如何求出小於N的所有質數？ 

首先假設要檢查的數是 N 好了，則事實上只要檢查至 N 的開根號就可以了，道理很簡單，假設 A*B= N，如果A大於N的開根號， 則事實上在小於A之前的檢查就可以先檢查到B這個數可以整 除N。 不過在程式中使用開根號會精確度的問題， 所以可以使i*i用 <= N進行檢查， 且執行更快。

 

再來假設有一個篩子存放1～N，例如：
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21 ........	N
先將2的倍數篩去：
2	3	5	7	9	11	13		15	17	19	21 ........	N
再將3的倍數篩去：
2	3	5	7	11	13		17	19	........	N

 

再來將5的倍數篩去，再來將7的質數篩去，再來將11的倍數篩去........，如此進行到最後留下的 數就都是質數，這就是Eratosthenes篩選方法（Eratosthenes Sieve Method） 。 

檢查的次數還可以再減少，事實上，只要檢查6n+1與6n+5就可以了，也就是直接跳過2與3的倍數，使得程式中的if的檢查動作可以減少。

 

********************程序*****************

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 1009

int main(void){
     int i, j;
     int prime[N+1];

      for(i = 2; i <= N; i++)
           prime[i] = 1;

      for(i = 2; i*i <= N; i++){ // 這邊可以改進
            if(prime[i]== 1) {
                  for(j = 2*i;j <= N; j++){
                         if(j % i == 0)
                           prime[j] = 0;
                 }
           }
      }

     for(i = 2; i <= N; i++){
         if(prime[i]== 1) {
             printf("%4d ", i);
         }
     }

    printf("\n");
    return 0;
}

 

*******************END*********************

 ************程序2*********************

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 1009
int main()
{
    int i,j,flag=0;
   for(i=2;i<=N;i++){
        flag=0;
        for(j=2;j<i;j++){
            if(i%j==0){
                flag=1;
                break;
            }
         }
       if(0==flag)
           printf("%5d",i);
   }
  return 0;
}

 

**************END2*****************