最短路徑算法：Bellman-ford算法

最短路徑問題

在圖結構中，求解最短路徑問題有多種算法，Bellman-Ford是其中之一，它可以處理含有負權邊的情況，同樣是單源最短路徑算法，而之前講到的Dijkstra算法不能處理含有負權邊的情況。對應的代價就是其算法時間複雜度要高一些。後面我們會分析。

這裏能處理負權邊是針對有向圖的，因爲對無向圖來說，含有負權邊就意味着含有負權迴路，在有負權迴路的這種情況下求最短路徑是無解的，因爲每經過一次負權迴路，距離都會減少，就會無限循環下去。

在繼續往下講之前，先補充一個圖最短路徑的一個性質：最短路徑的子路徑也是最短路徑，數學描述如下：有向圖$G=(V,E)$，設$p=(v_0,v_1,...,v_k)$爲從點$v_0$到點$v_k$的一條最短路徑，且$0≤i≤j≤k$，設$p_{ij}=(v_i,v_{i+1},...,v_j)$爲路徑$p$中從點$v_i$到點$v_j$的子路徑，那麼$p_{ij}$也是這兩點之間的一條最短路徑。可用反證法來證明：

證明：如果將路徑$p$分解爲$v_0-v_i-v_j-vk$，則有$w(p)=w(p_{0i})+w(p_{ij})+w(p_{jk})$。假設存在一條從$v_i$到$v_j$的一條更短的路徑$p_{ij}'$，$w(p_{ij}'<w(p_ij))$。則新路徑權值爲$w(p_{0i})+w(p_{ij}')+w(p_{jk}) < w(p)$，這與$p$是最短路徑相矛盾。

Bellman-Ford算法

與Dijkstra算法類似，Bellman-Ford算法也是通過不斷的“鬆弛”操作來求得最終解。“鬆弛”就是如下的操作過程：$w(u,v)$表示$u$與$v$之間的權值，$d[v]$表示從源點$s$到頂點$v$的距離，若存在邊$e(u,v)$，使得：$d[v] > d[u] + w(u,v)$(即發現了優於當前的路徑),則更新$d[v] = d[u] + w(u,v)$，並更新路徑$prev[v] = u$。可以看到每一次“鬆弛”都會更逼近最優解。Dijkstra算法通過優先隊列每次選擇當前未被處理過的距離最小的頂點，對該頂點未被處理過的邊進行鬆弛。而Bellman-Ford算法則簡單的鬆弛所有的邊，反覆執行$|V|-1$次（$|V|$爲頂點的的個數），時間複雜度$O(|V||E|)$。可以看出，Bellman-Ford鬆弛的次數遠多於Dijkstra，所以其時間複雜度相比Dijkstra要高。

僞代碼如下：

function BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
    // step 1 初始化, dist[v]表示源節點到頂點v的距離值，prev[v]表示頂點v的前驅頂點
    for each vertex v in vertices
        dist[v] = inf
        prev[v] = null

    dist[source] = 0

    // step 2 迭代鬆弛|V|-1次
    for i from 1 to size(vertices) -1 
        for each edge(u,v) with weight(u,v)  in edges
            if dist[u] + weight(u,v) < dist[v]
                dist[v] = dist[u] + weight(u,v)
                prev[v] = u
    
    // step 3 檢查是否有負權迴路
    for each edge(u,v) with weight(u,v) in edges
        if dist[u] + weight(u,v) < dist[v]
            error "檢測到負權迴路"

    return dist[], prev[]

對算法的優化： 在實際應用中，Bellman-Ford算法其實不用迭代鬆弛$|V|-1$次，理論上圖中存在的最大的路徑長度爲$|V|-1$，實際上往往要小於這個$|V|-1$，即，在$|V|-1$次迭代鬆弛之前就已經收斂了，計算出最短路徑了，所以可在循環中設置判定，在某次循環中不再進行鬆弛時，表明當前已收斂，可退出步驟2，進行下一步檢查是否有負權迴路。

怎麼理解這個算法呢？ 假設某頂點與源頂點沒有連通，即沒有邊，那麼這個點就不會被鬆弛，距離不會被更新，依舊爲無窮大。如果頂點與源頂點是連通的，在不存在負權迴路的情況下，一定存在一條最短路徑，這條最短路徑$p=(v_0,v_1,...,v_k)$爲源點$s$到$v$之間的任意一條最短路徑(這裏$v_0=s$，$v_k=v$)。最大會有多少條邊呢？假設圖有$|V|$個頂點，那麼有$k≤|V|-1$。在進行第一輪鬆弛時，被鬆弛的邊中一定會包含邊$(v_0,v_1)$，結合文章開頭講到的最短路徑的子路徑也一定是最短路徑的性質，$v_1$已經得到了其最短路徑，在第二輪鬆弛過程中，被鬆弛的邊中一定會包含$邊(v_1,v_2)$，經過此次鬆弛後，$v_2$也已經得到了其最短路徑。以此類推，在第$k$輪鬆弛中，被鬆弛的邊中一定包含了邊$(v_{k-1},v_k)$，之後$v_k$也得到其最短路徑。也就是說，凡是與源頂點最短路徑經過的邊數爲$k$的頂點，在第$k$輪鬆弛時一定會被確認（最短路徑被找到）。所以，我們需要鬆弛多少輪呢，最多$|V|-1$次就可以了。

算法的數學證明可以參考《圖論》或《算法導論》中的證明過程。

代碼實現見bellman_ford.cpp。最後再分析一下時間複雜度，最壞的情況$O(|V||E|)$，這個比較好理解，最好的情況$O(|E|)$，一次鬆弛所有邊的操作就可以了，對應的就是邊鬆弛的順序恰好是最短路徑樹的生成順序。

算法的應用

其中一個應用就是路由協議了（距離向量協議），對此實現了一個路由協議測試工程，代碼見router。實現了一個通過路由表的方式進行的路由算法。