题目说明
给定一个整数数组 A,返回其中元素之和可被 K 整除的(连续、非空)子数组的数目。
示例:
输入:A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
输出:7
解释:
有 7 个子数组满足其元素之和可被 K = 5 整除:
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]
提示:
1 <= A.length <= 30000
-10000 <= A[i] <= 10000
2 <= K <= 10000
解题思路一(暴力枚举,O(n^3))
- 暴力枚举所有的前序和,判断
对K取模
是否为0
,为0
则结果+1
代码实现一
/**
* @param {number[]} A
* @param {number} K
* @return {number}
*/
var subarraysDivByK = function(A, K) {
let res = 0;
for (let i = 0; i < A.length; i++) {
let prev = 0;
for (let j = i; j >= 0; j--) {
prev += A[j];
if (prev % K === 0) {
res++
}
}
}
return res;
};
解题思路二(暴力枚举优化,O(n^2))
- 将两层for循环中的求前序和操作,提前求。
- 那么我们求i之前的所有前序和就变成了,求
p[i] - p[j]
(j的范围是0 ~ i-1)
- 判断
p[i] - p[j]
对K去模是否为0,为0则结果+1
代码实现二
/**
* @param {number[]} A
* @param {number} K
* @return {number}
*/
var subarraysDivByK = function(A, K) {
let res = 0;
let p = new Array(A.length);
for (let i = 0; i < A.length; i++) {
p[i] = A.slice(0, i+1).reduce((sum, item, key, arr) => {
return sum += item;
}, 0);
for( let j = i - 1; j >= 0; j--) {
if((p[i] - p[j]) % K === 0) {
res++
}
}
if(p[i] % K === 0) {
res++
}
}
return res;
};
解题思路三(同余定理,O(n))
先理解一个数学问题, 假设
a = 8,b = 13
, 同时mod5
,那么a % 5 == 3,b % 5 == 3,即a % 5 == b % 5
则(b - a) % 5 == 0
,即对同一数取模相同的两个值,其差值可整除该数。
- 将两层for循环中的求前序和操作,提前求前序和序列p。
- 得到所有的前序和p之后,理解说明若
p[i] % K === p[j] % K
则p[i] - p[j] % 5 === 0
那么j
到i
就是我们求的一个目标子序列。 - 所以我们建立一个
hash
,用来存储p序列取模之后
的值。hash
的键值范围是(0 ~ K -1)
因为是对K取余,所以值只可能出现在该范围中。 - 由于该hash的标记跟数组下标正好对应,所以hash就声明为一个数组。
- 以示例为例
1. 输入:A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
2. p序列为[4, 9, 9, 7, 4, 5]
取模之后的序列为[4, 4, 4, 2, 4, 0]
记录到hash中
3. hash =[1, 0, 1, 0, 4]
4. 接下来就是排列组合的问题了,将hash列表中> 1
的值进行计算n * ( n - 1 ) / 2
取和
5. 最后再加上hash[0]
的个数,因为hash[0]
标记的是取模之后为0
的值的个数,本身就属于目标子序列。 - 第五步我们是先求出hash表才计算个数,我们也可以在完善hash的同时计算。
- 比如p序列为
[4, 9, 9, 7, 4, 5]
去模的过程中统计。 - 计算第
1
个取模,模值为4,res += hash[4],
hash[4]++,
由于4
是第1
次出现所以目前res+=0
- 计算第
2
个取模,模值为4,res += hash[4],
hash[4]++,
由于4
是第2
次出现所以目前res+=1
,子序列下标范围是[0,1]
- 计算第3个取模,模值为4,
res += hash[4],
hash[4]++,
由于4
是第3
次出现所以目前res+=2
,子序列下标范围是[0,1,2],[1,2]
因为4出现3次,所以第3个4可以和前两个组合。 - 依次类推。
- 比如p序列为
代码实现三
/**
* @param {number[]} A
* @param {number} K
* @return {number}
*/
var subarraysDivByK = function(A, K) {
let hash = new Array(K).fill(0);
let sum = 0;
let res = 0;
for (let i = 0; i < A.length; i++) {
sum += A[i];
let key = sum % K;
key = key < 0 ? (key + K) : key; //处理负数的情况, (3 - (-2)) % 5 === 0
res += hash[key];
hash[key]++;
}
return res + hash [0];
};