[每日一題]67：幸運的袋子（窮舉）

題目描述

一個袋子裏面有n個球，每個球上面都有一個號碼(擁有相同號碼的球是無區別的)。如果一個袋子是幸運的當且僅當所有球的號碼的和大於所有球的號碼的積。
例如：如果袋子裏面的球的號碼是{1, 1, 2, 3}，這個袋子就是幸運的，因爲1 + 1 + 2 + 3 > 1 * 1 * 2 * 3
你可以適當從袋子裏移除一些球(可以移除0個,但是別移除完)，要使移除後的袋子是幸運的。現在讓你編程計算一下你可以獲得的多少種不同的幸運的袋子。

輸入描述:

第一行輸入一個正整數n(n ≤ 1000)
第二行爲n個數正整數x_i(x_i ≤ 1000)

輸出描述:

輸出可以產生的幸運的袋子數

示例1

輸入
3
1 1 1

輸出
2

窮舉

通常在找不到解決問題的規律時對可能是解的衆多候選解按某種順序進行逐一枚舉和檢驗，並從中找出那些符合要求的候選解作爲問題的解。

解析：

本題的本質是求符合條件的子集個數。

思路

每次從全集中選擇若干元素(小球)組成子集(袋子)。對於任意兩個正整數a,b如果滿足 a+b>ab，則必有一個數爲1. 可用數論證明：設 a = 1 + x, b = 1 + y, 則1 + x + 1 + y >(1+x)(1+y),—>1 > xy,則x,y必有一個爲0，即a,b有一個爲1.推廣到任意k個正整數，假設a1,a2,…ak，如果不滿足給定條件，即和 sum 小於等於積pi。如果此時再選擇一個數b，能使其滿足sum+b > pib，則b必然爲1，且爲必要非充分條件。反之，如果選擇的b>1，則sum+b <= pi*b，即a1,a2,…,ak,b不滿足給定條件。

因此，將球按標號升序排序。每次從小到大選擇，當選擇到a1,a2,…,ak-1時滿足給定條件，而再增加選擇ak 時不滿足條件(ak必然大於等於max(a1,a2,…,ak-1))，繼續向後選擇更大的數，必然無法滿足!此時不必再繼續向後搜索。如果有多個1，即當k=1時，sum(1)>pi(1)不滿足，但下一個元素仍爲1，則可以滿足 1+1>1*1， 所以要判斷當前ak是否等於1，如果等於1，雖然不能滿足，組合的個數不能增加，但是繼續向後搜索，仍然有滿足條件的可能.對於重複數字，組合只能算一個，要去重。

解答代碼

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
/*
    getLuckyPacket:從當前位置開始搜索符合要求的組合，一直搜索到最後一個位置結束 
    v: 袋子中的所有球
    n: 球的總數
    pos: 當前搜索的位置
    sum: 到目前位置的累加和
    mul: 到目前位置的累積值 
*/
int getLuckyPacket(vector<int> v, int n, int pos, int sum, int mul) {
    int count = 0; 
    // 循環，搜索以位置i開始所有可能的組合 
    for (int i = pos; i<n; i++)
    {
        sum += v[i];
        mul *= v[i];
        if (sum > mul)
        {
            // 找到符合要求的組合，加1，繼續累加後續的值，看是否有符合要求的集合
            count += 1 + getLuckyPacket(v, n, i + 1, sum, mul);
        }
        else if (v[i] == 1)
        {
            // 如果不符合要求，且當前元素值爲1，則繼續向後搜索
            count += getLuckyPacket(v, n, i + 1, sum, mul);
        }
        else
        {
            // 如果選擇的b>1，則sum+b <= pi*b，即a1,a2,...,ak,b不滿足給定條件。
            break;
        }
        // 要搜索下一個位置之前，首先恢復sum和multi
        sum -= v[i];
        mul /= v[i]; 
        // 數字相同的球，沒有什麼區別，都只能算一個組合，所以直接跳過 
        while (i < n - 1 && v[i] == v[i + 1])
        {
            i++;
        } 
    }
    return count;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    vector<int> v;
    v.resize(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i];
    }
    sort(v.begin(), v.end());

    cout << getLuckyPacket(v, n, 0, 0, 1) << endl;

    return 0;
}

代碼生成圖

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