20180903雙線性插值

雙線性插值

雙線性插值，顧名思義就是兩個方向的線性插值加起來（這解釋過於簡單粗暴，哈哈）。所以只要瞭解什麼是線性插值，分別在x軸和y軸都做一遍，就是雙線性插值了。

線性插值的概念也非常簡單粗暴，就是兩個點A，B，要在AB中間插入一個點C（點C座標在AB連線上），就直接讓C的值落在AB的值的連線上就可以了。

如A點座標(0,0),值爲3，B點座標(0,2)，值爲5，那要對座標爲(0,1)的點C進行插值，就讓C落在AB線上，值爲4就可以了。

但是如果C不在AB的線上腫麼辦捏，所以就有了雙線性插值。如圖，已知Q12，Q22，Q11，Q21，但是要插值的點爲P點，這就要用雙線性插值了，首先在x軸方向上，對R1和R2兩個點進行插值，這個很簡單，然後根據R1和R2對P點進行插值，這就是所謂的雙線性插值。

附：維基百科--雙線性插值：

雙線性插值，又稱爲雙線性內插。在數學上，雙線性插值是有兩個變量的插值函數的線性插值擴展，其核心思想是在兩個方向分別進行一次線性插值。

假如我們想得到未知函數在點 $P=\left( x, y\right)$ 的值，假設我們已知函數在 $Q_{11} = \left( x_1, y_1 \right)$ , $Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right)$ , $Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right)$ , 及 $Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right)$ 四個點的值。

首先在 x 方向進行線性插值，得到

$f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),$

$f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).$

然後在 y 方向進行線性插值，得到

$f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).$

這樣就得到所要的結果 $f \left( x, y \right)$ ,

$f(x,y) \approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)$

$+ \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).$

如果選擇一個座標系統使得的四個已知點座標分別爲 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那麼插值公式就可以化簡爲

$f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.$

或者用矩陣運算表示爲

$f(x,y) \approx \begin{bmatrix} 1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(0,0) & f(0,1) \\ f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-y \\ y \end{bmatrix}$