在大規模的數據存儲中，實現索引查詢的背景下，樹節點存儲的元素數量是有限，這樣就導致二叉樹結構由於數的深度過大而造成磁盤I/O過於頻繁進而導致查詢效率低下，如何減少樹的深度（當然不能減少查詢的數據量），一個基本的想法就是：採用多叉樹結構（由於樹節點元素數量是有限的蠻自然該節點的子樹數量也是有限的）
也就是說，因爲磁盤的操作費時費資源，如果過於頻繁的多次查找勢必效率低下。那麼如何提高效率，即如何避免磁盤過於頻繁的多次查找呢？根據磁盤查找存取的次數往往由樹的高度所決定，所以，只要我們通過某種較好的樹結構減少樹的結構儘量減少樹的高度，那麼是不是便能有效減少磁盤查找存取的次數呢？那這種有效的樹結構是一種怎樣的樹呢？這樣我們就提出了一個新的查找樹結構——多路查找樹
一：
B-tree
在瞭解B-tree之前先了解爲什麼需要B-tree的外村數據結構
1.1外存儲器-磁盤
內存存取速度快但是容量小价格高斷點數據消失；外存容量大，較其他外存設備速度快；
磁盤數據是由三維地址的唯一標識：柱面號、盤面號、塊號（磁道上的盤塊）
讀寫磁盤上的數據需要三步：（一）移動臂根據柱面號使磁頭移動到所需的柱面上（定位或者查找）；二：根據盤面號來確定指定盤面上的磁道；三：盤片開始旋轉將制定塊號的磁道段移動至磁頭下；
訪問信息由三部分時間組成：查找時間（上述步驟一，這部分時間代價最高）；等待時間*（上述步驟三的事件，開銷比較小）；傳輸時間：數據通過總線傳到內存的時間，根據數據的大小有關（正比）
磁盤讀取數據是以盤塊(block)爲基本單位的。位於同一盤塊中的所有數據都能被一次性全部讀取出來。而磁盤IO代價主要花費在查找時間Ts上。因此我們應該儘量將相關信息存放在同一盤塊，同一磁道中。或者至少放在同一柱面或相鄰柱面上，以求在讀/寫信息時儘量減少磁頭來回移動的次數，避免過多的查找時間Ts。
所以，在大規模數據存儲方面，大量數據存儲在外存磁盤中，而在外存磁盤中讀取/寫入塊(block)中某數據時，首先需要定位到磁盤中的某塊，如何有效地查找磁盤中的數據，需要一種合理高效的外存數據結構，就是下面所要重點闡述的B-tree結構，以及相關的變種結構：B+-tree結構和B*-tree結構。
二：B- 樹
用階定義的B樹
B樹又叫做平衡多路查找樹：（一棵m階B樹）樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2），除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有【ceil（m/2）】個孩子節點，若根結點不是葉子結點則至少有兩個孩子，所有的葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字信息
三：B+樹
- 有n棵子樹的結點中含有n-1 個關鍵字； (此處頗有爭議，B+樹到底是與B 樹n棵子樹有n-1個關鍵字 保持一致，還是不一致：B樹n棵子樹的結點中含有n個關鍵字，待後續查證。暫先提供兩個參考鏈接：①wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/B%2B_tree#Overview；②http://hedengcheng.com/?p=525。而下面B+樹的圖尚未最終確定是否有問題，請讀者注意)
- 所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的信息，及指向含有這些關鍵字記錄的指針，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大的順序鏈接。 (而B 樹的葉子節點並沒有包括全部需要查找的信息)
- 所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含有其子樹根結點中最大（或最小）關鍵字。 (而B 樹的非終節點也包含需要查找的有效信息)
爲什麼選用B+樹作爲操作系統的文件索引和數據庫索引，而不是B樹
（一）B+樹的磁盤讀寫代價更低
B+樹的內部結點並沒有指向關鍵字具體信息的指針。因此其內部結點相對於B樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入內存中的需要查找的關鍵字也就越多。相對來說IO讀寫次數也就降低了。
舉個例子，假設磁盤中的一個盤塊容納16bytes，而一個關鍵字2bytes，一個關鍵字具體信息指針2bytes。一棵9階B-tree(一個結點最多8個關鍵字)的內部結點需要2個盤快。而B+ 樹內部結點只需要1個盤快。當需要把內部結點讀入內存中的時候，B 樹就比B+ 樹多一次盤塊查找時間(在磁盤中就是盤片旋轉的時間)。
（二）B+樹的查詢效率更加穩定
由於非終結點並不是最終指向文件內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查找必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數據的查詢效率相當。
6、B樹的插入、刪除操作
-
樹中每個結點含有最多含有m個孩子，即m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。
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除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個取上限的函數）；
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若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點爲葉子結點，整棵樹只有一個根節點）；
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所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字信息(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指針都爲null)；
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每個非終端結點中包含有n個關鍵字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
a) Ki (i=1...n)爲關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。
b) Pi爲指向子樹根的接點，且指針P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小於Ki，但都大於K(i-1)。
c) 除根結點之外的結點的關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1（葉子結點也必須滿足此條關於關鍵字數的性質，根結點除外）。
ok，下面咱們以一棵5階（即樹中任一結點至多含有4個關鍵字，5棵子樹）B樹實例進行講解(如下圖所示)：
備註：關鍵字數（2-4個）針對--非根結點（包括葉子結點在內），孩子數（3-5個）--針對根結點和葉子結點之外的內結點。當然，根結點是必須至少有2個孩子的，不然就成直線型搜索樹了。下圖中，讀者可以看到關鍵字數2-4個，內結點孩子數3-5個：
關鍵字爲大寫字母，順序爲字母升序。
結點定義如下：
typedef struct{
int Count; // 當前節點中關鍵元素數目
ItemType Key[4]; // 存儲關鍵字元素的數組
long Branch[5]; // 僞指針數組，(記錄數目)方便判斷合併和分裂的情況
} NodeType;
6.1、插入（insert）操作
插入一個元素時，首先在B樹中是否存在，如果不存在，即在葉子結點處結束，然後在葉子結點中插入該新的元素，注意：如果葉子結點空間足夠，這裏需要向右移動該葉子結點中大於新插入關鍵字的元素，如果空間滿了以致沒有足夠的空間去添加新的元素，則將該結點進行“分裂”，將一半數量的關鍵字元素分裂到新的其相鄰右結點中，中間關鍵字元素上移到父結點中（當然，如果父結點空間滿了，也同樣需要“分裂”操作），而且當結點中關鍵元素向右移動了，相關的指針也需要向右移。如果在根結點插入新元素，空間滿了，則進行分裂操作，這樣原來的根結點中的中間關鍵字元素向上移動到新的根結點中，因此導致樹的高度增加一層。如下圖所示：
1、OK，下面咱們通過一個實例來逐步講解下。插入以下字符字母到一棵空的B 樹中（非根結點關鍵字數小了（小於2個）就合併，大了（超過4個）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，結點空間足夠，4個字母插入相同的結點中，如下圖：
2、當咱們試着插入H時，結點發現空間不夠，以致將其分裂成2個結點，移動中間元素G上移到新的根結點中，在實現過程中，咱們把A和C留在當前結點中，而H和N放置新的其右鄰居結點中。如下圖：
3、當咱們插入E,K,Q時，不需要任何分裂操作
4、插入M需要一次分裂，注意M恰好是中間關鍵字元素，以致向上移到父節點中
5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作
6、插入Z時，最右的葉子結點空間滿了，需要進行分裂操作，中間元素T上移到父節點中，注意通過上移中間元素，樹最終還是保持平衡，分裂結果的結點存在2個關鍵字元素。
7、插入D時，導致最左邊的葉子結點被分裂，D恰好也是中間元素，上移到父節點中，然後字母P,R,X,Y陸續插入不需要任何分裂操作（別忘了，樹中至多5個孩子）。
8、最後，當插入S時，含有N,P,Q,R的結點需要分裂，把中間元素Q上移到父節點中，但是情況來了，父節點中空間已經滿了，所以也要進行分裂，將父節點中的中間元素M上移到新形成的根結點中，注意以前在父節點中的第三個指針在修改後包括D和G節點中。這樣具體插入操作的完成，下面介紹刪除操作，刪除操作相對於插入操作要考慮的情況多點。
6.2、刪除(delete)操作
首先查找B樹中需刪除的元素,如果該元素在B樹中存在，則將該元素在其結點中進行刪除，如果刪除該元素後，首先判斷該元素是否有左右孩子結點，如果有，則上移孩子結點中的某相近元素(“左孩子最右邊的節點”或“右孩子最左邊的節點”)到父節點中，然後是移動之後的情況；如果沒有，直接刪除後，移動之後的情況。
刪除元素，移動相應元素之後，如果某結點中元素數目（即關鍵字數）小於ceil(m/2)-1，則需要看其某相鄰兄弟結點是否豐滿（結點中元素個數大於ceil(m/2)-1）（還記得第一節中關於B樹的第5個特性中的c點麼?： c)除根結點之外的結點（包括葉子結點）的關鍵字的個數n必須滿足： （ceil(m / 2)-1）<= n <= m-1。m表示最多含有m個孩子，n表示關鍵字數。在本小節中舉的一顆B樹的示例中，關鍵字數n滿足：2<=n<=4），如果豐滿，則向父節點借一個元素來滿足條件；如果其相鄰兄弟都剛脫貧，即借了之後其結點數目小於ceil(m/2)-1，則該結點與其相鄰的某一兄弟結點進行“合併”成一個結點，以此來滿足條件。那咱們通過下面實例來詳細瞭解吧。
以上述插入操作構造的一棵5階B樹（樹中最多含有m（m=5）個孩子，因此關鍵字數最小爲ceil(m / 2)-1=2。還是這句話，關鍵字數小了（小於2個）就合併，大了（超過4個）就分裂）爲例，依次刪除H,T,R,E。
1、首先刪除元素H，當然首先查找H，H在一個葉子結點中，且該葉子結點元素數目3大於最小元素數目ceil(m/2)-1=2，則操作很簡單，咱們只需要移動K至原來H的位置，移動L至K的位置（也就是結點中刪除元素後面的元素向前移動）
2、下一步，刪除T,因爲T沒有在葉子結點中，而是在中間結點中找到，咱們發現他的繼承者W(字母升序的下個元素)，將W上移到T的位置，然後將原包含W的孩子結點中的W進行刪除，這裏恰好刪除W後，該孩子結點中元素個數大於2，無需進行合併操作。
3、下一步刪除R，R在葉子結點中,但是該結點中元素數目爲2，刪除導致只有1個元素，已經小於最小元素數目ceil(5/2)-1=2,而由前面我們已經知道：如果其某個相鄰兄弟結點中比較豐滿（元素個數大於ceil(5/2)-1=2），則可以向父結點借一個元素，然後將最豐滿的相鄰兄弟結點中上移最後或最前一個元素到父節點中（有沒有看到紅黑樹中左旋操作的影子?），在這個實例中，右相鄰兄弟結點中比較豐滿（3個元素大於2），所以先向父節點借一個元素W下移到該葉子結點中，代替原來S的位置，S前移；然後X在相鄰右兄弟結點中上移到父結點中，最後在相鄰右兄弟結點中刪除X，後面元素前移。
4、最後一步刪除E， 刪除後會導致很多問題，因爲E所在的結點數目剛好達標，剛好滿足最小元素個數（ceil(5/2)-1=2）,而相鄰的兄弟結點也是同樣的情況，刪除一個元素都不能滿足條件，所以需要該節點與某相鄰兄弟結點進行合併操作；首先移動父結點中的元素（該元素在兩個需要合併的兩個結點元素之間）下移到其子結點中，然後將這兩個結點進行合併成一個結點。所以在該實例中，咱們首先將父節點中的元素D下移到已經刪除E而只有F的結點中，然後將含有D和F的結點和含有A,C的相鄰兄弟結點進行合併成一個結點。
5、也許你認爲這樣刪除操作已經結束了，其實不然，在看看上圖，對於這種特殊情況，你立即會發現父節點只包含一個元素G，沒達標（因爲非根節點包括葉子結點的關鍵字數n必須滿足於2=<n<=4，而此處的n=1），這是不能夠接受的。如果這個問題結點的相鄰兄弟比較豐滿，則可以向父結點借一個元素。假設這時右兄弟結點（含有Q,X）有一個以上的元素（Q右邊還有元素），然後咱們將M下移到元素很少的子結點中，將Q上移到M的位置，這時，Q的左子樹將變成M的右子樹，也就是含有N，P結點被依附在M的右指針上。所以在這個實例中，咱們沒有辦法去借一個元素，只能與兄弟結點進行合併成一個結點，而根結點中的唯一元素M下移到子結點，這樣，樹的高度減少一層。
爲了進一步詳細討論刪除的情況，再舉另外一個實例：
這裏是一棵不同的5序B樹，那咱們試着刪除C
於是將刪除元素C的右子結點中的D元素上移到C的位置，但是出現上移元素後，只有一個元素的結點的情況。
又因爲含有E的結點，其相鄰兄弟結點纔剛脫貧（最少元素個數爲2），不可能向父節點借元素，所以只能進行合併操作，於是這裏將含有A,B的左兄弟結點和含有E的結點進行合併成一個結點。
這樣又出現只含有一個元素F結點的情況，這時，其相鄰的兄弟結點是豐滿的（元素個數爲3>最小元素個數2），這樣就可以想父結點借元素了，把父結點中的J下移到該結點中，相應的如果結點中J後有元素則前移，然後相鄰兄弟結點中的第一個元素（或者最後一個元素）上移到父節點中，後面的元素（或者前面的元素）前移（或者後移）；注意含有K，L的結點以前依附在M的左邊，現在變爲依附在J的右邊。這樣每個結點都滿足B樹結構性質。
從以上操作可看出：除根結點之外的結點（包括葉子結點）的關鍵字的個數n滿足：（ceil(m / 2)-1）<= n <= m-1，即2<=n<=4。這也佐證了咱們之前的觀點。刪除操作完。