採樣理論
內容簡介
- 事情通常不會錯
- 採樣的數學模型
- 如何把事情做得更好
採樣過程所應遵循的規律，又稱取樣定理、抽樣定理。採樣定理說明採樣頻率與信號頻譜之間的關係，是連續信號離散化的基本依據。
採樣定理是美國電信工程師H.奈奎斯特在1928年提出的，採樣定理說明採樣頻率與信號頻譜之間的關係，是連續信號離散化的基本依據。
採樣定理指的是，採樣頻率要大於信號最高頻率的2倍，才能無失真的保留信號的完整信息。
在進行模擬/數字信號的轉換過程中 當採樣頻率fs不小於信號中最高頻率fmax的2倍,,即 fs>=2fmax 時,採樣之後的數字信號完整地保留了原始信號中的信息。
在進行模擬/數字信號的轉換過程中，當採樣頻率fs.max大於信號中，最高頻率fmax的2倍時，fs.max>=2fmax,則採樣之後的數字信號完整地保留了原始信號中的信息，一般實際應用中保證採樣頻率爲信號最高頻率的5～10倍；採樣定理又稱奈奎斯特定理。
什麼地方需要採樣？
我們正在處理的幾乎所有數據都是離散的
- 在任意站點的採樣函數的評價
- 體繪製
- 等值面提取
- 射線追蹤
- 。。。
這裏出了什麼錯？
下圖是典型的射線跟蹤示例:
採樣和重建
- 缺少採樣？
- 採樣”低於奈奎斯特率”嗎?
- 快速的解決辦法: 雙採樣率
再一次進行採樣和重建
- 貌似重建的好一些了，但仍然不夠理想
- 並沒有高於奈奎斯特採樣值
- 應該解決所有的問題？
我們需要一個數學模型，來幫我們更清楚的知道上圖出錯的地方。
採樣的數學模型
- 使用頻率領域的知識來解釋採樣和重建的過程會更加容易被理解
- 將傅里葉變換應用到時間域和頻率域之間的切換中
- 在時間域中的作用: 信號
- 在頻率域中的作用: 頻譜
傅里葉變換 1
許多函數 f: R → R 可以寫成正弦函數表達式
- 角速度：Ω = 2 Π ·頻率
- 振幅：aω
- 斜率：Θω
傅里葉變換 2
- 通過計算，將函數轉化成複數簡化表達式:
- 一個複雜係數
進行幅值和相位轉換的編碼
- 取極限，將整體函數進行放大
進行幅值和相位轉換的編碼傅里葉變換 3
- 現在，幾乎所有的函數都可以表達爲 f:
- F(ω) 是一系列的 f (x) 頻譜，上述運算符就是逆傅里葉變換
- 它的逆傅立葉變換是：
一些信號和它們的頻譜
單一正弦波
加和兩個正玄波函數：
Box函數：
Wider box 函數：
三角函數：
梳狀函數（Comb function）：
寬梳狀函數（Wider comb function）：
卷積 （convolution）
卷積算子是一個廣義的公式來表示輸入的信號 f 和一種權重函數或篩選內核 g的加權平均:
一個很重要的 卷積的應用就是重構採樣信號
可以將線性插值解釋爲卷積:
功能重建
不斷的插補功能（Constant interpolation）:
線性插值（Linear interpolation）:
卡特-Rom 插值（Catmull-Rom interpolation）:
三次B樣條函數擬合（Cubic B-spline approximation）：
卷積定理
卷積定理與卷積和傅里葉變換：
卷積可以通過頻域計算：
時域
頻帶爲F的連續信號f(t)可用一系列離散的採樣值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，…來表示,只要這些採樣點的時間間隔Δt≤1/(2F)，便可根據各採樣值完全恢復原來的信號f(t)。 這是時域採樣定理的一種表述方式。
時域採樣定理的另一種表述方式是：當時間信號函數f(t)的最高頻率分量爲fM時,f(t)的值可由一系列採樣間隔小於或等於1/(2fM)的採樣值來確定,即採樣點的重複頻率f≥(2fM)。圖爲模擬信號和採樣樣本的示意圖。
時域採樣定理是採樣誤差理論、隨機變量採樣理論和多變量採樣理論的基礎。
頻域
對於時間上受限制的連續信號f(t)（即當│t│>T時,f(t)=0,這裏T=T2-T1是信號的持續時間），若其頻譜爲F（ω）,則可在頻域上用一系列離散的採樣值 來表示,只要這些採樣點的頻率間隔ω≦π / tm 。
參考文獻：
http://graphics.cs.ucdavis.edu/~okreylos/TAship/Seminar/SamplingTheory101.pdf