采样理论
内容简介
- 事情通常不会错
- 采样的数学模型
- 如何把事情做得更好
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是美国电信工程师H.奈奎斯特在1928年提出的，采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理指的是，采样频率要大于信号最高频率的2倍，才能无失真的保留信号的完整信息。
在进行模拟/数字信号的转换过程中 当采样频率fs不小于信号中最高频率fmax的2倍,,即 fs>=2fmax 时,采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。
在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中，最高频率fmax的2倍时，fs.max>=2fmax,则采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍；采样定理又称奈奎斯特定理。
什么地方需要采样？
我们正在处理的几乎所有数据都是离散的
- 在任意站点的采样函数的评价
- 体绘制
- 等值面提取
- 射线追踪
- 。。。
这里出了什么错？
下图是典型的射线跟踪示例:
采样和重建
- 缺少采样？
- 采样”低于奈奎斯特率”吗?
- 快速的解决办法: 双采样率
再一次进行采样和重建
- 貌似重建的好一些了，但仍然不够理想
- 并没有高于奈奎斯特采样值
- 应该解决所有的问题？
我们需要一个数学模型，来帮我们更清楚的知道上图出错的地方。
采样的数学模型
- 使用频率领域的知识来解释采样和重建的过程会更加容易被理解
- 将傅里叶变换应用到时间域和频率域之间的切换中
- 在时间域中的作用: 信号
- 在频率域中的作用: 频谱
傅里叶变换 1
许多函数 f: R → R 可以写成正弦函数表达式
- 角速度：Ω = 2 Π ·频率
- 振幅：aω
- 斜率：Θω
傅里叶变换 2
- 通过计算，将函数转化成复数简化表达式:
- 一个复杂系数
进行幅值和相位转换的编码
- 取极限，将整体函数进行放大
进行幅值和相位转换的编码傅里叶变换 3
- 现在，几乎所有的函数都可以表达为 f:
- F(ω) 是一系列的 f (x) 频谱，上述运算符就是逆傅里叶变换
- 它的逆傅立叶变换是：
一些信号和它们的频谱
单一正弦波
加和两个正玄波函数：
Box函数：
Wider box 函数：
三角函数：
梳状函数（Comb function）：
宽梳状函数（Wider comb function）：
卷积 （convolution）
卷积算子是一个广义的公式来表示输入的信号 f 和一种权重函数或筛选内核 g的加权平均:
一个很重要的 卷积的应用就是重构采样信号
可以将线性插值解释为卷积:
功能重建
不断的插补功能（Constant interpolation）:
线性插值（Linear interpolation）:
卡特-Rom 插值（Catmull-Rom interpolation）:
三次B样条函数拟合（Cubic B-spline approximation）：
卷积定理
卷积定理与卷积和傅里叶变换：
卷积可以通过频域计算：
时域
频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，…来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/(2F)，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。 这是时域采样定理的一种表述方式。
时域采样定理的另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/(2fM)的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥(2fM)。图为模拟信号和采样样本的示意图。
时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。
频域
对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T时,f(t)=0,这里T=T2-T1是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的采样值 来表示,只要这些采样点的频率间隔ω≦π / tm 。
参考文献：
http://graphics.cs.ucdavis.edu/~okreylos/TAship/Seminar/SamplingTheory101.pdf