【LeetCode系列】有序數組的中位數 Median of Two Sorted Arrays

問題描述： 

解決方案： 

因爲題目中給出的是已排序的數組，因此將問題轉化爲求第 k 小的數，當兩個數組大小之和爲奇數時，找第 小的數；當兩數組之和爲偶數時，找中間兩個數之和除以2即可，中間兩個數分別爲第和小的數。

假設找第k小的數需要在數組A中找p次，在數組B中找q次，則 p + q = k。k已知而p和q未知，因此目的就是通過二分k找到p。

A[start1 + p - 1]代表的含義是指數組A“前進”了p步，對應於數組B需要“前進”q步。

①若A[start1 + p - 1] = B[start2 + q - 1]，意味着已經找到，第k個數 kth = A[start1 + p - 1] = B[start2 + q -1]。因爲A和B都是有序的，因此從A[start1]到A[start1 + p - 1]（共p - 1 + 1個數）、B[start2]到B[start2 + q - 1]（共q - 1 + 1個數）也是有序的，如果將這兩個子數組合併成一個數組則總共有 p - 1 + q - 1 + 2= k個數，而其中最大的數就是A[start1 + p - 1] = B[start2 + q - 1]，即第k小的數（注意每個數組都是從小到大排序的，並不需要關心合併後的內部順序）。

②若A[start1 + p - 1] < B[start2 + q - 1]，意味着數組A中A[start1 + p - 1]之前的數字全都小於B[start2 + q - 1]（因爲數組A是從小到大排序的），因此第k小的數一定不會在數組A的前p個數中，因此我們可以把它捨棄以後進行遞歸操作，但遞歸時因爲我們捨棄了前面的p個數，因此下一步就是找第 k - p小的數了。

③若A[start1 + p - 1] > B[start2 + q - 1]，與上面情況類似，捨棄數組B的前q個元素，遞歸找第 k - q 小的數。

 

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) {
        int m = A.length;
        int n = B.length;
        int total = m + n;
        if((total % 2) == 1){
            return findKthNumber(A, m, 0, B, n, 0, total / 2 + 1);    //找到第total/2+1小的數
        }else{
            return (findKthNumber(A, m, 0, B, n, 0, total / 2) + findKthNumber(A, m, 0, B, n, 0, total / 2 + 1)) / 2;
        }
    }
    
    public double findKthNumber(int[] A, int m, int start1, int[] B, int n, int start2, int k){
        //一定注意這三個if的順序
        if(m > n){    //保證A的長度一定小於B
            return findKthNumber(B, n, start2, A, m, start1, k);
        }
        if(m == 0){    //如果一個數組長度爲0，則只要直接返回另一個數組的第k個元素即可
            return B[start2 + k - 1];
        }
        if(k == 1){    //返回第1小的數只要比較當前A和B中最小的即可
            return Math.min(A[start1], B[start2]);
        }
        //第k小的數在數組A中找了p次，在數組B中找了q次，p + q = k
        //二分：實際上是二分k找p
        int p = Math.min(k/2, m);    //若p > m會越界， 因此返回兩者中的小值
        int q = k -p;
        if(A[start1 + p - 1] == B[start2 + q - 1]){    //說明已找到
            return A[start1 + p - 1];
        }else if(A[start1 + p - 1] < B[start2 + q - 1]){
            return findKthNumber(A, m - p, start1 + p, B, n, start2, k - p);
        }else{
            return findKthNumber(A, m, start1, B, n - q, start2 + q, k - q);
        }
    }
}

參考：

https://www.jianshu.com/p/9bd57fd52062

https://blog.csdn.net/yutianzuijin/article/details/11499917

https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/solution/