圖 | 存儲結構：鄰接矩陣及C語言實現

使用圖結構表示的數據元素之間雖然具有“多對多”的關係，但是同樣可以採用順序存儲，也就是使用數組有效地存儲圖。

鄰接矩陣

鄰接矩陣(Adjacency Matrix)，又稱數組表示法，存儲方式是用兩個數組來表示圖：

一個一維數組存儲圖中頂點本身信息；
一個二維數組(稱爲鄰接矩陣)存儲圖中的邊或弧的信息。

存儲圖中各頂點本身信息，使用一維數組就足夠了；存儲頂點之間的關係（邊或弧）時，要記錄每個頂點和其它所有頂點之間的關係，所以需要使用二維數組。

不同類型的圖，存儲的方式略有不同。根據圖有無權，可以將圖劃分爲兩大類：圖和網 。圖，包括無向圖和有向圖；網，是指帶權的圖，包括無向網和有向網。

存儲方式的不同，指的是：在使用二維數組存儲圖中頂點之間的關係時，如果頂點之間存在邊或弧，在相應位置用 1 表示，反之用 0 表示；如果使用二維數組存儲網中頂點之間的關係，頂點之間如果有邊或者弧的存在，在數組的相應位置存儲其權值；反之用 ∞ 表示。

這裏“∞”表示一個計算機允許的、大於所有邊上權值的值。

結構代碼表示：

#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //頂點的最大個數
#define VRType int                          //表示頂點之間的關係的變量類型
#define InfoType char                       //存儲弧或者邊額外信息的指針變量類型
#define VertexType int                      //圖中頂點的數據類型
typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}GraphKind;       //枚舉圖的 4 種類型

typedef struct {
    VRType adj;                             //對於無權圖，用 1 或 0 表示是否相鄰；對於帶權圖，直接爲權值。
    InfoType * info;                        //弧或邊額外含有的信息指針
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];

typedef struct {
    VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //存儲圖中頂點數據
    AdjMatrix arcs;                         //二維數組，記錄頂點之間的關係
    int vexnum,arcnum;                      //記錄圖的頂點數和弧（邊）數
    GraphKind kind;                         //記錄圖的種類
}MGraph;

以無向圖爲例：

在此二維數組中，每一行代表一個頂點，依次從 V₁ 到 V₇ ，每一列也是如此。比如 arcs[0][1] = 1 ，表示 V₁ 和 V₂ 之間有邊存在；而 arcs[0][4] = 0，說明 V₁ 和 V₅ 之間沒有邊（不能直接到達）。

無向圖鄰接矩陣的特點：

鄰接矩陣是一個對稱矩陣，而且主對角線一定爲零。在存儲時可以採用壓縮存儲的方式存儲下三角或者上三角；
頂點 V_i 的度等於第(i-1)行非零元素個數，或第(i-1)列非零元素個數。例如，第一行有三個 1，說明 V1 有三個邊，所以度爲 3：
用鄰接矩陣表示圖，很容易確定圖中任意兩個頂點是否有邊相連；
求頂點 V_i 的所有鄰接點就是將矩陣中第(i-1)行元素掃描一遍，arc[i-1][j]爲1就是鄰接點。

有向圖鄰接矩陣的特點：

有向圖是有講究的，要考慮入度和出度，頂點 V_i 的入度爲第(i-1)列的非零元素個數，頂點 V_i 的出度爲第(i-1)行的非零元素個數。

具體實現代碼

#include <stdio.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20                   //頂點的最大個數
#define VRType int                          //表示頂點之間的關係的變量類型
#define InfoType char                       //存儲弧或者邊額外信息的指針變量類型
#define VertexType int                      //圖中頂點的數據類型
typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}GraphKind;       //枚舉圖的 4 種類型

typedef struct {
    VRType adj;                             //對於無權圖，用 1 或 0 表示是否相鄰；對於帶權圖，直接爲權值。
    InfoType * info;                        //弧或邊額外含有的信息指針
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];

typedef struct {
    VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //存儲圖中頂點數據
    AdjMatrix arcs;                         //二維數組，記錄頂點之間的關係
    int vexnum,arcnum;                      //記錄圖的頂點數和弧（邊）數
    GraphKind kind;                         //記錄圖的種類
}MGraph;

//根據頂點本身數據，判斷出頂點在二維數組中的位置
int LocateVex(MGraph * G,VertexType v){
    int i=0;
    //遍歷一維數組，找到變量v
    for (; i<G->vexnum; i++) {
        if (G->vexs[i]==v) {
            break;
        }
    }
    //如果找不到，輸出提示語句，返回-1
    if (i>G->vexnum) {
        printf("no such vertex.\n");
        return -1;
    }
    return i;
}

//構造有向圖
void CreateDG(MGraph *G){
    //輸入圖含有的頂點數和弧的個數
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    //依次輸入頂點本身的數據
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    //初始化二維矩陣，全部歸0，指針指向NULL
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    //在二維數組中添加弧的數據
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2;
        //輸入弧頭和弧尾
        scanf("%d,%d",&v1,&v2);
        //確定頂點位置
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        //排除錯誤數據
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        //將正確的弧的數據加入二維數組
        G->arcs[n][m].adj=1;
    }
}

//構造無向圖
void CreateDN(MGraph *G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2;
        scanf("%d,%d",&v1,&v2);
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=1;
        G->arcs[m][n].adj=1;//無向圖的二階矩陣沿主對角線對稱
    }
}

//構造有向網，和有向圖不同的是二階矩陣中存儲的是權值。
void CreateUDG(MGraph *G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2,w;
        scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&w);
        int n=LocateVex(G, v1);
        int m=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=w;
    }
}

//構造無向網。和無向圖唯一的區別就是二階矩陣中存儲的是權值
void CreateUDN(MGraph* G){
    scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        scanf("%d",&(G->vexs[i]));
    }
    for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {
        for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {
            G->arcs[i][j].adj=0;
            G->arcs[i][j].info=NULL;
        }
    }
    for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {
        int v1,v2,w;
        scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&w);
        int m=LocateVex(G, v1);
        int n=LocateVex(G, v2);
        if (m==-1 ||n==-1) {
            printf("no this vertex\n");
            return;
        }
        G->arcs[n][m].adj=w;
        G->arcs[m][n].adj=w;//矩陣對稱
    }
}

void CreateGraph(MGraph *G){
    //選擇圖的類型
    scanf("%d",&(G->kind));
    //根據所選類型，調用不同的函數實現構造圖的功能
    switch (G->kind) {
        case DG:
            return CreateDG(G);
            break;
        case DN:
            return CreateDN(G);
            break;
        case UDG:
            return CreateUDG(G);
            break;
        case UDN:
            return CreateUDN(G);
            break;
        default:
            break;
    }
}

//輸出函數
void PrintGrapth(MGraph G)
{
    for (int i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        for (int j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            printf("%d ", G.arcs[i][j].adj);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    MGraph G;//建立一個圖的變量
    CreateGraph(&G);//調用創建函數，傳入地址參數
    PrintGrapth(G);//輸出圖的二階矩陣
    return 0;
}

注意：在此程序中，構建無向網和有向網時，對於之間沒有邊或弧的頂點，相應的二階矩陣中存放的是 0。目的只是爲了方便查看運行結果，而實際上如果頂點之間沒有關聯，它們之間的距離應該是無窮大（∞）。

例如，使用上述程序存儲下圖中（a）的有向網時，存儲的兩個數組如下圖（b）所示：

相應地運行結果爲：

2
6,10
1
2
3
4
5
6
1,2,5
2,3,4
3,1,8
1,4,7
4,3,5
3,6,9
6,1,3
4,6,6
6,5,1
5,4,5
0 5 0 7 0 0
0 0 4 0 0 0
8 0 0 0 0 9
0 0 5 0 0 6
0 0 0 5 0 0
3 0 0 0 1 0

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