快速冪的目的就是做到快速求冪,假設我們要求a^b,按照樸素算法就是把a連乘b次,時間複雜度是O(b)爲O(n)級別,快速冪能做到O(logn)
原理如下:
假設我們要求a^b,那麼其實b是可以拆成二進制的,該二進制數第i位的權爲2^(i-1),例如當b==11時 a11=a(2^0+2^1+2^3)
11的二進制是1011,11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1,因此,我們將a¹¹轉化爲算 a^2^0*a^2^1*a^2^3,也就是,原來算11次,現在算三次
由於是二進制,很自然地想到用位運算這個強大的工具:&和>>
>>&運算通常用於二進制取位操作,例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。還可以判斷奇偶x&1==0爲偶,x&1==1爲奇。
>>運算表示二進制去掉最後一位
public double Power(double base, int n) {
double res = 1,curr = base;
int exponent;
if(n>0){
exponent = n;
}else if(n<0){
if(base==0)
throw new RuntimeException("分母不能爲0");
exponent = -n;
}else{// n==0
return 1;// 0的0次方
}
while(exponent!=0){
if((exponent&1)==1)
res*=curr;
curr*=curr;// 翻倍
exponent>>=1;// 右移一位
}
return n>=0?res:(1/res);
}
以b==11爲例,b=>1011,二進制從右向左算,但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),是從左向右的。我們不斷的讓curr*=curr目的是累乘,以便隨時對res做出貢獻。
其中要理解curr*=curr這一步:因爲 curr*curr==curr^2,下一步再乘,就是curr^2*curr^2==curr^4,然後同理 curr^4*curr^4=curr^8,由此可以做到curr-->curr^2-->curr^4-->curr^8-->curr^16-->curr^32.......指數正是 2^i ,再看上面的例子,a¹¹= a1*a2*a8,這三項就可以完美解決了,快速冪就是這樣。
另一種高效的解法,原理同快速冪差不多,如下:
class Solution {
public:
double pow(double x, int n) {
double res = 1.0;
for (int i = n; i != 0; i /= 2) {
if (i % 2 != 0) res *= x;
x *= x;
}
return n < 0 ? 1 / res : res;
}
};
矩陣快速冪也是這個道理,下面放一個求斐波那契數列的矩陣快速冪模板
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<cmath>
5 #include<algorithm>
6 using namespace std;
7 const int mod = 10000;
8 const int maxn = 35;
9 int N;
10 struct Matrix {
11 int mat[maxn][maxn];
12 int x, y;
13 Matrix() {
14 memset(mat, 0, sizeof(mat));
15 for (int i = 1; i <= maxn - 5; i++) mat[i][i] = 1;
16 }
17 };
18 inline void mat_mul(Matrix a, Matrix b, Matrix &c) {
19 memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
20 c.x = a.x; c.y = b.y;
21 for (int i = 1; i <= c.x; i++) {
22 for (int j = 1; j <= c.y; j++) {
23 for (int k = 1; k <= a.y; k++) {
24 c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
25 c.mat[i][j] %= mod;
26 }
27 }
28 }
29 return ;
30 }
31 inline void mat_pow(Matrix &a, int z) {
32 Matrix ans, base = a;
33 ans.x = a.x; ans.y = a.y;
34 while (z) {
35 if (z & 1 == 1) mat_mul(ans, base, ans);
36 mat_mul(base, base, base);
37 z >>= 1;
38 }
39 a = ans;
40 }
41 int main() {
42 while (cin >> N) {
43 switch (N) {
44 case -1: return 0;
45 case 0: cout << "0" << endl; continue;
46 case 1: cout << "1" << endl; continue;
47 case 2: cout << "1" << endl; continue;
48 }
49 Matrix A, B;
50 A.x = 2; A.y = 2;
51 A.mat[1][1] = 1; A.mat[1][2] = 1;
52 A.mat[2][1] = 1; A.mat[2][2] = 0;
53 B.x = 2; B.y = 1;
54 B.mat[1][1] = 1; B.mat[2][1] = 1;
55 mat_pow(A, N - 1);
56 mat_mul(A, B, B);
57 cout << B.mat[1][1] << endl;
58 }
59 return 0;
60 }