AOE網
1.介紹
定義：在帶權有向圖中，以頂點表示事件，有向邊表示活動，邊上的權值表示完成該活動的開銷，則稱這種有向圖爲用邊表示活動的網絡，簡稱爲AOE網（Activity On Edge Network）
性質：
- 只有在某頂點所代表的事件發生後，從該頂點出發的各有向邊所代表的活動才能開始
- 只有在進入某一頂點的各有向邊所代表的活動都已經結束時，該頂點所代表的事件才發生
2.幾個詞的解釋
ps:事件是點，活動是邊！！！
關鍵路徑：
從源點到匯點的所有路徑中，具有最長路徑長度的路徑，該路徑上的活動成爲關鍵活動（後面有用先記着）
事件V[k]的最早發生時間ve[k]:
從開始頂點V到V[k]的最長路徑長度。
事件V[k]的最遲發生時間vl[k]:
不推遲整個工程完成的前提下，即保證它所指向的事件Vi在ve(i)時刻能夠發生時，改事件最遲必鬚髮生的事件。
活動a[i]的最早開始時間e[i]: 活動a[i]用邊(V[k],V[j])表示
e[i]=ve[k]
活動a[i]的最遲開始時間l[i]:
l[i]=vl[j]-Weight(V[k],V[j])
一個活動a[i]的鬆弛時間：
d[i]=l[i]-e[i]或者d[i]=關鍵路徑長度-包含a[i]活動的最長路徑
3.計算
3.1 計算事件的最早和最遲發生時間
ve的計算方法爲從前往後計算，取最大值，例如對於F,ve(F)=max{ve(B)+a5,ve(E)+a7,ve(G)+a8} ,只有一個的話就只取一個，多個的話，多箇中取最大值
vl的計算方法爲從後往前計算，首先另終點J的vl值爲其ve，即vl(J)=ve(J)=18，然後多箇中取最小值，例如對於B,vl(B)=min{vl(C)-a2,vl(F)-a5,vl(D)-a3}=2;若只有一個，例如對於H,vl(H)=vl(J)-a12=14
最終算出各個頂點的最早和最遲發生時間如下
| V | ve（事件最早發生時間） | vl（事件最遲發生事件） |
|---|---|---|
| A | 0 | 0 |
| B | 2 | 2 |
| C | 5 | 5 |
| D | 4 | 4 |
| E | 10 | 10 |
| F | 13 | 13 |
| G | 7 | 7 |
| H | 12 | 14 |
| I | 13 | 16 |
| J | 18 | 18 |
有以上可以得出ve==vl的點即爲關鍵路徑上的事件，即A,B,C,D,E,F,G,J，則有以上點連接的邊所代表的活動a1,a2,a3,a4,a6,a7,a8,a10疑似爲關鍵活動
注意：
關鍵路徑可能不只有一條，計算到這裏只能得出關鍵路徑上的事件，具體怎麼走還等計算活動的最早和最遲開始時間，如果僅僅需要計算出關鍵路徑，則只需計算幾個疑似關鍵活動的最早和最遲發生時間，爲了清楚，我們這裏就把全部活動的都計算出來
3.2活動的最早和最遲開始時間
活動最早開始時間： 例如a1,爲邊（A,B），則a1=ve(A)=0;例如a2,爲邊（B,C），則a2=ve(B)=2
活動最晚開始時間：例如對於a1,爲邊（A,B）,則a1=vl(B)-weight(a1)=2-2=0；例如a12,爲邊（H,J）,則a12=vl(J)-weight(a12)=18-4=14
最終結果如下
| a | e（活動最早開始時間） | l（活動最遲開始事件） |
|---|---|---|
| a1 | 0 | 0 |
| a2 | 2 | 2 |
| a3 | 2 | 2 |
| a4 | 5 | 5 |
| a5 | 2 | 9 |
| a6 | 4 | 4 |
| a7 | 10 | 10 |
| a8 | 7 | 7 |
| a9 | 10 | 12 |
| a10 | 13 | 13 |
| a11 | 7 | 10 |
| a12 | 12 | 14 |
| a13 | 13 | 16 |
找出e==l的活動ai,這裏爲a1,a2,a3,a4,a6,a7,a8,a10;經觀察可發現這裏有兩條關鍵路徑，分別爲a1,a2,a4,a7,a10和a1,a3,a6,a8,a10
又比如問一個活動的鬆弛時間，即活動ai在不拖延總工程時間的情況下，該活動可以拖延的時間，有兩種解法，比如問BF的鬆弛時間：
解1：BF=a5,所以鬆弛時間=l(a5)-e(a5)=7
解2：包含BF活動的最長路徑爲ABFJ,其長度爲11，又因爲關鍵路徑長度爲18，所以鬆弛時間爲18-11=7