歐幾里得&擴展歐幾里得算法

#樸素的歐幾里得算法大家應該知道
$gcd(a,b)$表示a,b的最大公約數
樸素的歐幾里得算法其實就是所謂的輾轉相除法

• 輾轉相除法
  $gcd(a,b)=gcd(b,a$ $mod$ $b)$
  證明如下：
  $設r=a$ $mod$ $b$ $=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b$,$p=gcd(a,b)$;
  則$a=xp,b=yp$
  代入可得$r=xp-\lfloor\frac{xp}{yp}\rfloor*yp$
  提公因式得$r=p(x-\lfloor\frac{xp}{yp}\rfloor*y)$
  所以$p|r$
  即$a,b的最大公約數也是r的約數$
  設$p`=gcd(b,r)$
  則$b=x`p`,r=y`p`$
  $a=r+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b$
  代入得$a=y`p`+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*x`p`$
  提公因式$a=p`(y`+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*x`)$
  所以$p`|a$
  得出結論：a,b與b,a mod b的公約數相同，所以最大公約數也相同
  得證；

Code：

int gcd(int a,int b) 
{
    if(!b) return a; 
    else return gcd(b,a%b);
}

擴展歐幾里得算法

擴展歐幾里得算法就是在樸素的歐幾里得算法上求一組未知數(x,y)的解，滿足貝祖定理:$ax+by=gcd(a,b)$

• 公式的推導
  當且僅當$a>b$
  ①$b=0$ 則$x=1,y=0$
  ②$a>b>0$
  設$ax1+by1=gcd(a,b);bx2+(a$ $mod$ $b)y2=gcd(b,a$ $mod$ $b)$
  由樸素歐幾里得算法得：$gcd(a,b)=gcd(b,a$ $mod$ $b)$
  所以$ax1+by1=bx2+(a$ $mod$ $b)y2$
  即$ax1+by1=bx2+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b)y2$
  化簡得：$ax1+by1=bx2+ay2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b*y2$
  由貝祖等式得$\\x1=y2\\ {y1=x2-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b} .$

Code:

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 
{
    if(b==0) 
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y;y=z-a/b*y;
    return r;
}

擴展歐幾里得應用

①解不定方程
②解線性同餘方程
③求模的逆元

1.解形如ax+by=c的不定方程

用擴展歐幾里得算法求出解$ax`+by`=gcd(a,b)$
再分別乘上$\frac{c}{gcd(a,b)}$
當$c$ $mod$ $gcd(a,b)\neq0$時無解

2.解形如$ax\equiv b(mod$ $m)$的線性同餘方程

即$ax-my=b$
$ax+m(-y)=b$
得出：
$ax+my=b$
同上解除即可。

3.求$ax\equiv1(mod$ $m)$

由上式子可得$x\equiv \frac{1}{a} (mod$ $m)$
所以 x是a的逆元
同②得：$ax+my=1$
解出x即可.