MIT_Linear_Algebra_lec12: 網絡圖像 關聯矩陣 基爾霍夫定律

MIT_Linear_Algebra_lec12: 網絡圖像 關聯矩陣 基爾霍夫定律

MIT 公開課：Gilbert Strang《線性代數》課程筆記（彙總）

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這是一個網絡圖結構，節點+流向，可以表示複雜的關係，如電路結構，人物關係，網絡結構。

關聯矩陣

這種結構可以用矩陣加以表示。課中講到的表示方法是，行代表邊，列表示節點。圖中有5條邊，所以行數是5；有4個節點，所以列數是4.
$A = \left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 &0\\ -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$
可以看出是一個稀疏矩陣。

A的零空間

即Ax = 0中x的集合。
$A \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4\\ \end{matrix} \right]$
即
$\left[ \begin{matrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 & x_4 - x_1 & x_4 - x_3\\ \end{matrix} \right] = 0$
${x_i}$ 可以看成i節點的勢，兩個節點之間的勢之差就是電壓降。

${A^T}$的零空間

${A^T}$表示的就是節點的情況。

${A^T}y = 0$
$\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2\\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ \end{matrix} \right]$

節點電流的流入流出情況滿足基爾霍夫定律，可以理解成一種能量守恆。

歐拉公式

• (${A}^T$的零空間的維度) = A的列數 - rank(${A}^T$) = 5 - 3 = 2
• ${A}^T$的零空間的基
  $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right]$
• 迴路個數 = 邊數 - （節點數 - 1）
• 個人理解：
  • 可以看到圖中有兩個最小環路，這代表了邊的線性相關性。
    1，2，3可以得到一個環路，3，4，5可以得到一個環路。
    這裏有兩個解 = 迴路個數，所以${A}^T$零空間的維度就是2 = 迴路個數。
  • 反過來說，邊獨立的最多三條,比如1，2，4或5。 連接4個節點不成環的最少邊數 =
    rank(${A}^T$)=3 = (節點數 - 1)