MIT_Linear_Algebra_lec12: 网络图像 关联矩阵 基尔霍夫定律

MIT_Linear_Algebra_lec12: 网络图像 关联矩阵 基尔霍夫定律

MIT 公开课：Gilbert Strang《线性代数》课程笔记（汇总）

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这是一个网络图结构，节点+流向，可以表示复杂的关系，如电路结构，人物关系，网络结构。

关联矩阵

这种结构可以用矩阵加以表示。课中讲到的表示方法是，行代表边，列表示节点。图中有5条边，所以行数是5；有4个节点，所以列数是4.
$A = \left[ \begin{matrix} -1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 &0\\ -1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{matrix} \right]$
可以看出是一个稀疏矩阵。

A的零空间

即Ax = 0中x的集合。
$A \left[ \begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4\\ \end{matrix} \right]$
即
$\left[ \begin{matrix} x_2 - x_1 & x_3 - x_1 & x_4 - x_1 & x_4 - x_3\\ \end{matrix} \right] = 0$
${x_i}$ 可以看成i节点的势，两个节点之间的势之差就是电压降。

${A^T}$的零空间

${A^T}$表示的就是节点的情况。

${A^T}y = 0$
$\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & -1 & -1 & 0\\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2\\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ \end{matrix} \right]$

节点电流的流入流出情况满足基尔霍夫定律，可以理解成一种能量守恒。

欧拉公式

• (${A}^T$的零空间的维度) = A的列数 - rank(${A}^T$) = 5 - 3 = 2
• ${A}^T$的零空间的基
  $\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \end{matrix} \right]$
• 回路个数 = 边数 - （节点数 - 1）
• 个人理解：
  • 可以看到图中有两个最小环路，这代表了边的线性相关性。
    1，2，3可以得到一个环路，3，4，5可以得到一个环路。
    这里有两个解 = 回路个数，所以${A}^T$零空间的维度就是2 = 回路个数。
  • 反过来说，边独立的最多三条,比如1，2，4或5。 连接4个节点不成环的最少边数 =
    rank(${A}^T$)=3 = (节点数 - 1)