對於有些問題，如果使用了合適的向量化方法，代碼就會變得簡單得多而且有效得多。
我們來看一些例子：
這是一個常見的線性迴歸假設函數：
如果想要計算h(x)，注意右邊是一個求和公式。那麼可以自己來計算 j = 0到 j = n的和。
但換另一種方式來想一想，把h(x)看做是θ的轉置乘以x，那麼就可以表示成兩個向量的內積。假設這裏有兩個特徵向量（也就是n等於2）的話，那麼θ就是[θ_0; θ_1; θ_2]，並且把x看做一個向量，x = [x_0; x_1; x_2]。
這兩種思考角度，會給你兩種不同的實現方式。
如下圖所示，左邊是未向量化的代碼來計算h(x)。這樣的話，我們可能首先要初始化變量prediction的值爲0.0，而這個變量prediction的最終結果就是h(x)。然後要用一個for循環，j取值1到n+1，變量prediction每次更新爲自身加上θ(j) * x(j)，這個就是算法的代碼實現。
順便提醒一下，這裏的向量用的下標是從0開始的，但因爲MATLAB下標從1開始，在MATLAB中可能會用θ1來表示θ0，θ1用θ2來表示，而第三個元素就用θ3表示。
儘管實際的θ和x，下標從0開始，但MATLAB中的向量下標從1開始。這就是爲什麼這裏的for循環中j的取值是從1到n+1，而不是從0到n。
這是一個未向量化的代碼實現方式，我們要用一個for循環對n個元素進行加和。
作爲比較，接下來是向量化的代碼實現。
將x和θ看做向量，然後只需要令prediction等於θ的轉置乘以x。與其寫for循環的多行代碼，而現在只需要一行代碼，這行代碼就是利用Octave高度優化的數值線性代數算法，來計算θ和x兩個向量的內積。向量化的實現方式不僅代碼更簡單，也會讓運行更高效。
這就是Octave所做的，而向量化的方法，在其他編程語言中同樣可以實現。
來看一個用C++實現的例子：
這就是未向量化的代碼。同樣地先初始化變量prediction爲0.0，然後是一個for循環，j等於從0到n，然後變量prediction每次等於自身加上 θ[j] * x[j]。
這樣也是自己寫了一個for循環。與此相反，利用C++數值線性代數庫，就可以用下圖這個方程，這取決於你的數值線性代數庫的內容，或許可以有一個C++對象向量theta和另一個C++對象向量x，然後只需要用 theta.transpose() * x ，然後讓C++來實現運算。只需要在C++中讓兩個向量相乘。根據你所使用的數值線性代數庫，代碼表達方式可能會有些許不同，但通過一個內置庫來計算內積，可以得到一段更簡單更有效的代碼。
再來看一個更爲複雜的例子：
先提醒一下線性迴歸梯度下降算法的更新規則，對 j 等於 0、1、2等等的所有值，更新對象θ_j。假設只有兩個特徵量，也就是n等於2。然後羅列一些方程，用θ_0、θ_1、θ_2做例子。並且這些更新應該是同步更新的。
下面是同樣的三個方程：
可以想象，實現這三個方程的方法就是用一個for循環，讓 j 等於 0、1、2來更新θ_j。
但下面來用向量化的方式實現。看看是否有更簡單的方法來壓縮這三行代碼，或者說是這個for循環，一次來實現這三個方程。
接下來給出將這三步壓縮成一行的向量化的代碼。思路是這樣的：將θ看做一個向量，然後更新向量θ爲θ減去α乘以某個向量δ，這裏的 δ等於1/m 乘以 從i=1到m的一個表達式的總和，如下圖所示。
下面來解釋一下，把θ看做一個向量，一個n+1維的向量。α是一個實數，而δ是一個n+1維的向量，所以這個減法是一個向量減法。因爲α乘以δ是一個向量，所以θ更新爲θ - α乘以 δ得到的向量。那麼向量δ是什麼呢？其實就是下圖紅色框內的部分：
具體地說，δ是n+1維向量，向量δ的第一個元素就是下圖綠色框中的部分：
如果δ下標從0開始，δ就是下圖這樣子，其中δ_0就是上一張圖的綠色框內的部分：
如果在實施線性迴歸的時候，使用兩個以上的特徵量，有時我們在線性迴歸中使用幾十、幾百個、甚至幾千個特徵，當使用向量化實現線性迴歸時，相比過去使用for循環來更新θ_0、θ_1、θ_2，通常運行速度會更快。使用向量化實現方式，應該能夠得到一個高效得多的線性迴歸算法。