二分查找問題的簡單形式是：直接查找元素值等於指定值的元素。
然而，實際應用中，會有各種各樣的變形問題：
- 存在重複元素值，查找第一個值等於指定值的元素；
- 存在重複元素值，查找最後一個值等於指定值的元素；
- 查找第一個大於等於指定值的元素；
- 查找最後一個小於等於指定值的元素；
對於變形的二分查找問題，基本思路與簡單情況類似，所不同的是需要考慮更復雜的邊界情況的處理。
變形1：存在重複元素值，查找第一個值等於指定值的元素
比如下面這樣一個有序數組，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等於 8，是重複的數據。我們希望查找第一個等於 8 的數據，也就是下標是 5 的元素。
解題思路：
1、和一般二分查找相同，先設定low/high指針，分別指向下標0和9；
2、求解mid指針的下標：mid=low+((high-low)>>1)，
3、根據a[mid]與指定值value的關係，選擇更新high指針或者low指針，直到low>high停止。
先上碼，再解釋：
def bisearch_var1_1(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid - 1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
elif A[mid] == value:
if mid == 0 or A[mid-1] != value:
return mid
else:
high = mid - 1
return -1
def bisearch_var1_2(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] >= value:
high = mid - 1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
if low < len(A) and A[low]==value:
return low
else:
return -1
這裏給出了兩種方案：
第一種方案——bisearch_var1_1：將a[mid]與指定值value的關係分爲三個：大於、小於、等於。大於和小於的情況比較清晰，就不多說了。對於等於的情況，需要再作判斷：當mid爲0時說明在A[mid] == value情況下，mid是A中第一個元素，那當然也是以第一個等於value的元素；當A[mid-1] != value時，這個時候說明了mid位置的元素等於value但它前一個元素不等於value，由於A有序，那A[mid-1]一定是小於value的，此時mid也就是滿足要求的第一個值等於value的元素的下標；因此，滿足這兩個條件之一即可返回結果，若都不滿足，則說明了這樣一種情況：A[mid]不是第一個等於value的元素，它前面還有其他元素也等於value，所以應該更新high指針，將搜索範圍向low的方向縮小。
第二種方案——bisearch_var1_2：將a[mid]與指定值value的關係分爲兩個個：大於等於、小於。大於等於的時候，說明當前程序還不能確定當前元素A[mid]是第一個等於value的元素，所以更新high指針；小於的時候，說明還沒找到等於value的元素，所以向high的方向更新low指針。這樣經過while循環之後，low、high指針的情況就變成了這樣幾種情況：A中有值等於value的情況——A[low]==value，high=low-1，A[high]<value；A中沒有值等於value的元素，且A[0]<value<A[n-1]的情況(n爲A的長度)——A[low]>value, high = low-1, A[high]<value；A中沒有值等於value的元素，且value>A[n-1]的情況(n爲A的長度)—— high = n-1, low = n, A[high]<value; A中沒有值等於value的元素，且value<A[0]的情況(n爲A的長度)—— high = -1, low = 0, A[low]<value。可見，經過while後，幾種情況都有一個共性：low=high+1。然後，再進行一次判斷：low < len(A)且A[low]==value，說明找到值爲value的元素且爲第一個元素，否則就說明沒找到，直接返回-1 。
針對這兩種方案，簡單測試下：
A = [1,2,3,3,3,4,4,5,6]
print(bisearch_var1_1(A,4)) # result： 5
print(bisearch_var1_2(A,0)) # result： -1
變形2：存在重複元素值，查找最後一個值等於指定值的元素
解題思路與變形1相同，只是在邊界條件的判斷上有所不同，對於各個情況的分析也類似變形1。廢話少說，直接上碼：
def bisearch_var2_1(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low +((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid -1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
elif A[mid] == value:
if mid == len(A)-1 or A[mid+1] != value:
return mid
else:
low = mid + 1
return -1
def bisearch_var2_2(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid - 1
elif A[mid] <= value:
low = mid + 1
if high >=0 and A[high]==value:
return high
else:
return -1
A = [1,2,3,3,3,4,4,5,6]
print(bisearch_var2_1(A,3)) # result: 4
print(bisearch_var2_2(A,0)) # result: -1
變形3：查找第一個大於等於指定值的元素
前面的兩種情況，都是希望能找到等於指定值的元素，而這裏則希望找到第一個大於指定值的元素，所以在邊界判斷時有所不同，先給出兩種解決方案的代碼：
def bisearch_var3_1(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] >= value:
if mid == 0 or A[mid-1] < value:
return mid
else:
high = mid - 1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
return -1
def bisearch_var3_2(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] >= value:
high = mid - 1
elif A[mid] < value:
low = mid + 1
if low < len(A):
return low
else:
return -1
A = [1,2,3,3,3,4,4,5,6]
print(bisearch_var3_1(A,0.5)) # result: 0
print(bisearch_var3_2(A,0.5)) # result: 0
對於第一種方案——bisearch_var3_1：將A[mid]與value值的關係分兩種情況：大於等於、小於。當大於等於時，需要判斷如果A[mid]爲第一個元素（也即mid==0），或者mid的前一個元素A[mid-1]小於value，說明要麼這是第一個元素且大於value滿足條件，要麼不是第一個元素但它前一個元素小於value，也滿足條件，這時就直接返回mid即可；否則就更新high。當小於時，直接更新low即可。
對於第二種方案——bisearch_var3_2：將A[mid]與value值的關係分兩種情況：大於等於、小於，與方案bisearch_var3_1所不同的時，bisearch_var3_2將判斷放在了while之後。經過while循環，同樣滿足一個共同條件：low = high + 1，也分三種情況：value<a[0]、a[0]<value<a[n-1]、a[n-1]<value。前兩種情況都屬於能找到滿足條件的元素，第三種情況則屬於找不到滿足條件的元素，因爲第三種情況下A中最大元素都小於value。所以，只有當low小於n-1時，low的值纔是所求。
變形4：查找最後一個小於等於指定值的元素
思路類似於變形3，是其反過來的情況，廢話少說，直接上碼：
def bisearch_var4_1(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid - 1
elif A[mid] <= value:
if mid == len(A)-1 or A[mid+1] > value:
return mid
else:
low = mid + 1
return -1
def bisearch_var4_2(A, value):
low = 0
high = len(A)-1
while low <= high:
mid = low + ((high-low)>>1)
if A[mid] > value:
high = mid - 1
elif A[mid] <= value:
low = mid + 1
if high >= 0:
return high
else:
return -1
A = [1,2,3,3,3,4,4,5,6]
print(bisearch_var4_1(A,3)) # result: 4
print(bisearch_var4_2(A,5.5)) # result: 7