leetcode - 152. Maximum Product Subarray

算法系列博客之Dynamic Programming

本篇博客將運用動態規劃的思想來解決leetcode上152號問題

問題描述：

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest product.

For example, given the array [2,3,-2,4],
the contiguous subarray [2,3] has the largest product = 6.

找出最大連續子序列乘積的問題主要涉及到連續且可能有非正數，使得問題複雜
如果碰到0，就會發生截斷，前面和後面毫不相干
如果碰到負數更爲複雜，因爲偶數個負數乘積爲正數，也即是說不能截斷

考慮前後依賴關係，嘗試進行線性掃描，假定已掃描到第i個數，max爲當前已掃描得到的最大乘積
就max本身而言，也有正負0三種情況，再考慮根據nums[i]進行分類處理

• 如果nums[i] 爲正數
        max爲正，則應將nums[i] 累乘到max上
        max爲0，則將max置爲nums[i]
        max爲負，乘上max則恰好得到最小乘積min，此後再次掃描到負數相乘時，又必然得到最大乘積；而當前最大乘積只能在此類似於nums[i]爲0的情況進行截斷
• 如果nums[i] 爲 0， 則發生截斷，前後毫不相干，記錄max值，並將max置0，最終最大乘積與記錄值比較取最大
• 如果nums[i] 爲負數
        max爲正，乘上max則恰好得到最小乘積min，此後再次掃描到負數相乘時，又必然得到最大乘積；而當前最大乘積應當不變
        max爲0，則應使max繼續爲 0
        max爲負，則應將nums[i] 累乘到max上

再仔細研究這個過程，發現每次計算max值忽略了之前的最小乘積也可能變成最大乘積
總結起來，每次的最大乘積應該是在max*nums[i], min*nums[i], nums[i]三個數中取最大
同時三個數的計算過程要求我們需要實時更新min，而min恰好也是在這三個數中取最小
過程中記錄max的歷史值，實際上也只需要一個值記錄，然後每次進行更新即可

此時不難寫出實現代碼如下

class Solution(object):
    def maxProduct(self, nums):
        cur_max = nums[0]
        cur_min = nums[0]
        fin_max = cur_max

        for x in nums[1:]:
            max_multi_x = cur_max * x
            min_multi_x = cur_min * x
            cur_max = max(max(max_multi_x, min_multi_x), x)
            cur_min = min(min(max_multi_x, min_multi_x), x)
            fin_max = max(cur_max, fin_max)
        return fin_max

時間複雜度分析，僅需一次遍歷數組，每個遍歷單元只有常數條無嵌套指令，是爲O(n)
空間複雜度分析，整個算法只額外使用了五個整形變量，因而是爲O(1)