4階顯式Runge－Kutta法解常微分方程的通用程序--python實現

對於常微分方程，RK方法速度快，精度高，代碼簡單，是最爲實用的數值方法之一。RK方法很簡單，類似梯形法，RK法也是根據前一步點的值推算後一步點。具體算法見以下鏈接
https://wenku.baidu.com/view/3d7e77450a4c2e3f5727a5e9856a561252d32184.html?from=search&smallflow20190502=1

例：求解如下微分方程

精確解）
顯式方法中步長不能太大，否則結果不可靠。在代碼中28對步長進行了判斷。
例子中步長要小於0.066。 讀者可取n=5, 10,100對比下。
函數RK計算四個係數，fxy是方程右端的表達式。

import math
import numpy as np  
from numpy import * 
import matplotlib.pyplot as plt
import time

def RK(y0,  a, b, n):#輸入y0，x的區間【a，b】以及等分數
    h = (b-a)/n
    y = np.zeros(n)
    y[0] = y0
    for i in range(1, n, 1):  #從1到n
        
        x0 = a+(i-1)*h                #        這裏對應上一步的x0
        k1 = fxy(x0, y0, h)
        k2 = fxy(x0+h/2., y0+h/2.*k1, h)
        k3 = fxy(x0+h/2., y0+h/2.*k2, h)
        k4 = fxy(x0+h, y0+h*k3, h)
        y0 = y0+h/6.*(k1+2.*k2+2.*k3+k4)
        y[i] = y0
        i = i+1    
    return y


def fxy(x, y, h):   #被積函數寫在這裏
    
    lanmb=-x*x*y #lanmb爲正數的時候不用判斷
    f = lanmb*y #這裏需要判斷步長是否收斂。表達式dy/dx=lanmb*y
    if (lanmb*h < -2):
        print('h should smaller than ',  abs(2/lanmb),  h)# 收斂判斷條件
    return f
start = time.clock()
a0 = 0.      
b0 = 1.5
y0 = 3.             #y的初始值
n = 80

yy = RK(y0,  a0, b0+ (b0-a0)/n, n+1)# 這裏是閉區間，開區間不需要加 (b0-a0)/n
xx = np.arange(a0, b0+ (b0-a0)/n, (b0-a0)/n)
print(xx[-1],yy[-1])#打印最後一個點


yyy=3./(1+xx**3)   #精確解 測試用

plt.figure(1)      #畫圖
print(xx.shape,  yy.shape)
plt.plot(xx, yy)
plt.scatter(xx,yyy)     #精確解
delta=np.sum(abs(yyy-yy))
print(delta)
end = time.clock()    #看一下所用時間
print('time=',end-start)
plt.show()

最後結果：散點是精確解，曲線是數值解