基于ICA的线性监督分类的故障诊断方法-AO统计量计算

ICA+AO统计量

数据预处理

此处同$I^2$统计量的预处理方法，见链接。下文部分未申明的变量均可在预处理部分找到含义。

AO统计量的计算

注：此部分原理比较复杂，以下总结可能会存在错误。

必备公式

（1）

随机选择d维空间（与FastICA中选择维度数一致）的h个单位列向量（对随机向量进行单位化可得到随机的单位向量），h一般250左右即可（再大可能无明显增益），组成矩阵H：
${\rm{H = (}}{v_1},{v_2},...{v_h}{{\rm{)}}^{\rm{T}}}$
（2）

对某从小到大排列的向量${{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}$的中位数计算方案，定义为med，即：
${\rm{med(}}{{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}{\rm{) = }}\left\{ \begin{array}{l} ({x_{n/2}} + {x_{(x/2) + 1}})/2{\rm{\;\;if\;}}n{\rm{\;is\;even}}\\ {x_{(n + 1)/2}}{\rm{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;if\;}}n{\rm{\;is\;odd}} \end{array} \right.$
含义就是，若长度为偶数，用中间两个数的均值作为中位数，若长度为奇数，用中间那个数作为中位数。

（3）

对某从小到大排列的向量${{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}$（向量中元素个数为n），其四分位数计算方案如下：

$Q_1$是第一 四分位数，$Q_3$是第三 四分位数，IQR是四分位距：
${{\rm{Q}}_1}({\vec x_n}) = {{\rm{\vec x}}_{{\mathop{\rm int}} (n*0.25)}}$

${{\rm{Q}}_3}({\vec x_n}) = {{\rm{\vec x}}_{{\mathop{\rm int}} (n*0.75)}}$

$IQR({\vec x_n}) = {Q_3}({\vec x_n}) - {Q_1}({\vec x_n})$

注：上面定义的med中位数，可以看成是这里的第二 四分位数。

（4）

medcouple计算方法，记为MC：
${\rm{MC}}({\rm{\vec x}}) = \mathop {{\rm{med}}}\limits_{{x_i} \le {\rm{med}}({\rm{\vec x}}) \le {x_j}} h({x_i},{x_j})$
其中，核函数$h({x_i},{x_j})$计算方法：

​ 当${x_i} \ne {x_j}$时：
$h({x_i},{x_j}){\rm{ = }}\frac{{\left| {({x_j} - med({\rm{\vec x}})) - ({x_i} - med(\vec x))} \right|}}{{{x_j} - {x_i}}}$
​ 当${x_i}{\rm{ = med}}({\rm{\vec x}}){\rm{ = }}{x_j}$，设从小到大的向量${{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}$中，存在
${x_{b + 1}} = {x_{b + 2}} = ... = {x_{b + i}} = ... = {x_{b + j}} = {x_{b + k}} = med({\rm{\vec x}})$
​ 共k个元素与${\rm{med}}({\rm{\vec x}})$相等，则：
$h({x_{b + i}},{x_{b + j}}){\rm{ = }}\left\{ \begin{array}{l} {\rm{ - 1, if\;\;}}i + j - {\rm{1 < }}k\\ {\rm{ \;\;\;0 , if\;\;}}i + j - {\rm{1 = }}k\\ {\rm{ + 1, if\;\;}}i + j - {\rm{1 > }}k \end{array} \right.$
可以证明 $h({x_i},{x_j}) \in [ - 1,1]$。

注：statsmodels库提供了medcouple计算函数，并且最新版修复了一个小误差。

（5）

向量${{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}$的边界$c_1$和$c_2$（与箱型图有关的一个量）的计算方法：
$[{c_1}({{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}),{c_2}({{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}})] = \left[ {{{\rm{Q}}_1} - 1.5{e^{ - 3.5MC}}IQR{\rm{\;,\;}}{Q_3} + 1.5{e^{4MC}}IQR} \right]{\rm{ if\;MC}}({{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}) \ge {\rm{0}}$

$[{c_1}({{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}),{c_2}({{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}})] = \left[ {{{\rm{Q}}_1} - 1.5{e^{ - 4MC}}IQR{\rm{\;,\;}}{Q_3} + 1.5{e^{3.5MC}}IQR} \right]{\rm{ if\;MC}}({{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}) \le {\rm{0}}$

注：上述$Q_1$肯定是向量${{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}$的$Q_1$值啦，其他类推。

（6）

向量${{\rm{\vec x}}_{\rm{n}}}$的拒绝策略：
${\rm{cutoff(}}\vec x{\rm{)}} = \left\{ \begin{array}{l} {Q_3}(\vec x) + 1.5{{\rm{e}}^{{\rm{4MC(\vec x)}}}}IQR(\vec x){\rm{\;\;if\;\;MC(}}\vec x{\rm{)}} \ge {\rm{0}}\\ {Q_3}(\vec x) + 1.5{{\rm{e}}^{{\rm{3}}{\rm{.5MC(\vec x)}}}}IQR(\vec x){\rm{\;\;if \;\;MC(}}\vec x{\rm{)}} \le {\rm{0}} \end{array} \right.$
（7）

最为关键的AO统计量的计算公式啦啦啦：

矩阵${\rm{X = (}}{\vec x_1},...,{\vec x_i},...,{\vec x_n}{{\rm{)}}^T}$的中任一个样本向量${\vec x_i}$的AO值计算方法：
${\rm{AO(}}{\vec x_i},{\rm{X) = }}\mathop {\max }\limits_{v \in H} \frac{{\left| {\vec x_i^Tv - med({\rm{X}}v)} \right|}}{{({c_2}({\rm{X}}v) - med({\rm{X}}v))I[\vec x_i^Tv > med({\rm{X}}v)] + (med({\rm{X}}v) - {c_1}({\rm{X}}v))I[\vec x_i^Tv < med({\rm{X}}v)]}}$
其中，${I[·]}$表示当内部条件成立时，该函数结果为1，否则为0。（暂不清楚为何上式内部条件中没有考虑等于号，实现该函数时，个人觉得可以把等于的情况归于大于号，即变成大于等于号。）

AO统计量的控制限

同$I^2$统计量的控制限一样，采用KDE法求取，参见链接。

将AO统计量应用于故障诊断的步骤

首先，经过FastICA变换，得到n个样本的所有源信号s（d维）组成的源矩阵：
${{\rm{S}}_{{\rm{(n*d)}}}}{\rm{ = }}{{\rm{X}}_{{\rm{n*m}}}}{\rm{W}}_{{\rm{d*m}}}^T = {({s_{1(d*1)}},...,{s_{n(d*1)}})^{\rm{T}}}$
求取S所有样本向量的AO值：
${\rm{AO(S) = [AO(}}{s_{\rm{1}}}{\rm{,S)}},...,{\rm{AO(}}{s_i}{\rm{,S),}}...{\rm{,AO(}}{s_{\rm{n}}}{\rm{,S)}}{{\rm{]}}^T}$
求取AO向量的cutoff值：
${\rm{cutoff = cutoff(AO(S))}}$
若${\rm{AO(}}{{\rm{s}}_i}{\rm{) > cutoff}}$，则将训练集样本$X_{n*m}$中的${\vec x_i}$标记为极端值。

从X中剔除掉所有极端值，得到$X_{robust}$，重新进行FastICA，得到${S_{robust}}$。

计算$S_{robust}$的AO值向量：
${\rm{AO(}}{{\rm{S}}_{{\rm{robust}}}}{\rm{)}}$
采用KDE估计此AO向量的概率密度函数，并求取置信区间，记控制限求取结果为${AO}_{\alpha}$

对于新的样本矩阵$X_{new}$，采用上述第二次FastICA的参数（包括均值化和变换矩阵等参数）对其进行FastICA变换，得到${{\rm{S}}_{{\rm{new}}}}{\rm{ = (}}{\vec s_{\rm{1}}}{\rm{,}}...{\rm{,}}{\vec s_i}{\rm{,}}...{\rm{,}}{\vec s_n}{{\rm{)}}^T}$，然后求取AO值（注意新样本，与训练样本此公式的异同）：
${\rm{AO(}}{\vec s_i}{\rm{,}}{{\rm{S}}_{{\rm{robust}}}}{\rm{) = }}\mathop {\max }\limits_{v \in H} \frac{{\left| {\vec s_i^Tv - med({{\rm{S}}_{{\rm{robust}}}}v)} \right|}}{{({c_2}({{\rm{S}}_{{\rm{robust}}}}v) - med({{\rm{S}}_{{\rm{robust}}}}v))I[\vec s_i^Tv > med({{\rm{S}}_{{\rm{robust}}}}v)] + (med({{\rm{S}}_{{\rm{robust}}}}v) - {c_1}({{\rm{S}}_{{\rm{robust}}}}v))I[\vec s_i^Tv < med({{\rm{S}}_{{\rm{robust}}}}v)]}}$

故障判定

如果系统正常运行，新样本$x_i$的AO值，应满足${\rm{AO}}({\vec s_i}) < {\rm{A}}{{\rm{O}}_\alpha }$，反之，认为出现故障。

参考文献

Brys, G, M Hubert和A Struyf. 《A Robust Measure of Skewness》. Journal of Computational and Graphical Statistics 13, 期 4 (2004年12月): 996–1017. https://doi.org/10.1198/106186004X12632.

Brys, G., M. Hubert和P. J. Rousseeuw. 《A Robustification of Independent Component Analysis》. Journal of Chemometrics 19, 期 5–7 (2005年5月): 364–75. https://doi.org/10.1002/cem.940.

Hsu, Chun-Chin, Mu-Chen Chen和Long-Sheng Chen. 《A Novel Process Monitoring Approach with Dynamic Independent Component Analysis》. Control Engineering Practice 18, 期 3 (2010年3月): 242–53. https://doi.org/10.1016/j.conengprac.2009.11.002.

Lee, Jong-Min, ChangKyoo Yoo和In-Beum Lee. 《Statistical process monitoring with independent component analysis》. Journal of Process Control 14, 期 5 (2004年8月1日): 467–85. https://doi.org/10.1016/j.jprocont.2003.09.004.

DICA+AO统计量

X(l)生成过程同DPCA，参见链接。

剩余步骤同此。