矩阵知识：特征值&特征向量

一、特征值&特征向量

1.1 直观印象

如果把矩阵看作是运动，对于运动而言，最重要的是运动的速度和方向，那么：

• 特征值就是运动的速度
• 特征向量就是运动的方向

既然运动最重要的两方面都被描述了，特征值、特征向量自然可以称为运动（矩阵）的特征。

注意：由于矩阵是数学概念，非常抽象，所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的，在现实中有不同的替代。

1.1.1 几何意义

在下面的图中画出了基和向量（在$\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$为基的空间里有向量$\overrightarrow{v}$）

随便左乘一个矩阵A，图像看上去没什么特殊的：

这时如果调整下$\overrightarrow{v}$的方向，图像看上去就有点特殊了

我们可以观察到，调整后的$\overrightarrow{v}$和$A\overrightarrow{v}$在同一根直线上，只是$A\overrightarrow{v}$的长度相对$\overrightarrow{v}$变长了，我们就称$\overrightarrow{v}$是A的特征向量，而$A\overrightarrow{v}$的长度是$\overrightarrow{v}$的长度的$\lambda$倍，$\lambda$就是特征值。从而，特征值和特征向量的定义如下：

其实之前的A不止一个特征向量，还有另一个特征向量：

可以看出这两个特征值一个大于1一个小于1.
从特征向量和特征值的定义还可以看出，特征向量所在直线上的向量都是特征向量。