矩阵知识：矩阵乘法

一、从高斯消元法到矩阵乘法：

1.1 高斯消元法

假设存在如下的方程：

将方程化为如下的形式是高斯消元法的目标：
$\begin{cases} R=?\\G=?\\B=? \end{cases}$

思路：
首先利用第一行消去第二行和第三行的第一个元素：

接着利用第二行消去第三行的第二个元素：

接着反过来，用第三行消去第一行和第二行的第三个元素：

接着用第二行消去第一行的第二个元素：

最后达到目标：

1.2 用增广矩阵描述高斯消元法

假设方程为：

则增广矩阵为：

整个过程可以描述为：

1.3 利用矩阵乘法：

上述过程的第一次运算用矩阵乘法可以描述为：


多行乘法：

这一步实际表达了两个过程：

• 第一行不变：$r_1'=r_1$
• 第二行改变：$r_2'=r_2-3r_1$

用矩阵乘法则表示为：

所以利用矩阵乘法，整个高斯消元法就可以表示如下：

https://www.matongxue.com/madocs/755.html

二、如何理解矩阵乘法：

一个正确的观点是将矩阵看成是函数，这样很多疑惑就可以迎刃而解。

2.1 矩阵是一个函数：

直线函数与矩阵：
我们熟悉的直线函数$ax=y$把$(x,0)$点映射到$(0,ax)$点：

我们通过矩阵$A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$也可以完成这个映射，令：
$A=\begin{pmatrix} 0&1\\a&0 \end{pmatrix}$
则：

矩阵的优点：
对于 $ax=y,x\in R,y\in R$只能完成从实数到实数的映射：
$x\to y\implies R\to R$
但是：$A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y},\overrightarrow{x}\in R^n,\overrightarrow{y}\in R^m$可以完成更广泛的映射：
$\overrightarrow{x}\to \overrightarrow{y}\implies R^n\to R^m$
为了完成这点，矩阵$A$就不再是系数a了，而是一个函数（或者说是映射）
假设$\overrightarrow{x}$所在平面为$v$，而$\overrightarrow{y}$所在平面为$W$，$\overrightarrow{x}$通过矩阵$A$映射到了$\overrightarrow{y}$，可以如下表示：

A这个映射的特别之处是，V上的直线通过A映射到W上依然是直线，所以矩阵也被称为线性映射。

2.2 矩阵作为函数的工作方式：

将之前表示线性映射的3D图变为2D图：

为了绘图方便， $\overrightarrow{x}$所在平面V，$\overrightarrow{y}$所在平面W，都是二维平面，即$R^2$

座标：
研究线性映射，最重要的是搞清楚当前处在哪个基下，首先看：

$\overrightarrow{x}$,$\overrightarrow{y}$的基默认为各自空间向量空间下的自然基，其自然基为（即$R^2$下的自然基）：

所以可以得到：

如下图所示：

映射法则的工作原理：
为了说清映射法则A是怎么工作的，将A用一个空间表示，V会通过A映射到W：
设：$A=(\overrightarrow{c_1}\quad\overrightarrow{c_2})$
整个映射过程如下所示：

根据矩阵乘法的规则可以得到（可以理解为$\overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2}$两个向量的一个线性组合）：

则$A\overrightarrow{x}$相当于在A空间中，以$\overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2}$为基，座标为$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$的向量：

再将$A\overrightarrow{x}$向量用自然基表示：

整体来说，就是基改变，导致向量的座标发生改变：

注意矩阵乘法不满足交换律
https://www.matongxue.com/madocs/555.html