計數初步

Outline

• 計數原理
• 組合數/二項式係數
• 錯位排列
• 卡特蘭數/卡塔蘭數
• 斯特林數/斯特靈數
• 三元環計數

加法原理

乘法原理

定義

計算

小♂試牛刀

• $\sum_{i=1}^nX_i=m,(X_i>0)$的方案數。

  （把m個相同小球放在n個不同盒子，盒子不能爲空的方案數）

• $\sum_{i=1}^nX_i=m,(X_i>=0)$的方案數。

  （把m個相同小球放在n個不同盒子，盒子可以爲空的方案數）

• $\sum_{i=1}^nX_i=m,(X_i>=k)$的方案數。

  （通過給所有盒子欽定都先有k個小球，然後轉化爲問題2）

• 有m種顏色，第i種顏色恰好用$X_i$次$(\sum_{i=1}^mX_i=n)$，用這些顏色給一個長度爲n的序列上色的方案數。

  • $ans=C_n^{x_1}C_{n-x_1}^{x_2}C_{n-x_1-x_2}^{x_3}…C_{n-x_1-x_2...-x_{m-1}}^{x_m}$
  • $ans=\frac{n!}{\Pi_{i=1}^{m}x_i!}$

• $n × m$的棋盤，每次都只能向上或者向右，$(1,1)$->$(n,m)$的方案數。

  （總共走了n+m-2步，把向上走的n-1步任意穿插在裏面，$ans=C_{n+m-2}^{n-1}$）

• $n × m$的棋盤，有兩個棋子分別位於(1,2),(2,1)，這兩個棋子同時移動，每次只能向上或者向右，(1,2)->(n-1,m),(2,1)->(n,m-1)，同時兩個棋子的路徑交集爲空的方案數。

  （考慮容斥，先求出兩個點到終點任意走的方案數爲ans1和ans2，減去不合法的方案數。畫一下圖，發現兩條路徑交叉，可以看做從(1,2)->(n,m-1),(2,1)->(n-1,m)。求出分別方案數ans3,和ans4。$ans=ans1*ans2-ans3*ans4$）

圓排列

例1 組合數前綴和

Solution

Lucas定理

例題2 [SHOI2015]超能粒子炮

• 點我跳轉

例題3 [SDOI2010古代豬文]

• 點我跳轉

錯位排列

例題4 [BZOJ4563]

• 模板題直接求$D(n)$就是答案，不過給你了個噁心的高精度。不寫了。

例題5 [SDOI2016]

• 這題比較良心，有取模。注意的是需要乘上一個組合數，所以先$O(n)$處理階乘和階乘的逆元。

卡特蘭數

例題5 [BZOJ2822]樹屋階梯

• 毒瘤高精度請注意！

第一類斯特林數

例題6 [Loj2173]建築師

• 不錯的題，算是第一類斯特林數模板題，不過有取模qwq。

第二類斯特林數

三元環計數

• 統計每個點的度數
• 入度<=$\sqrt{m}$的分爲第一類，入度>$\sqrt{m}$的分爲第二類
• 對於第一類，暴力每個點，然後暴力這個點的任意兩條邊，再判斷這兩條邊的另一個端點是否連接
  因爲m條邊最多每條邊遍歷一次，然後暴力的點的入度<=$\sqrt{m}$，所以複雜度約爲$O(m\sqrt{m})$
• 對於第二類，直接暴力任意三個點，判斷這三個點是否構成環，因爲這一類點的個數不會超過$\sqrt{m}$個，所以複雜度約爲$O(\sqrt{m}^3)=O(m\sqrt{m})$
• 判斷兩個點是否連接用map就可以，根據具體情況而行
• 對於第一類我們需要爲了去一下重，可以每做完一個點，給他打上一個標記。下次對其他點計數時，如果含有被打過標記的點，不參與計數。

完結撒花！