viterbi 算法與python實現

Viterbi算法

（部分內容轉自知乎：《如何通俗地講解 viterbi 算法？》）

1、問題描述

如下如所示，如何快速找到從 S 到 E 的最短路徑？

一：遍歷窮舉法，可行，但速度太慢；

二：viterbi算法！

注：viterbi 維特比算法解決的是籬笆型圖的最短路徑問題，圖的節點按列組織，每列的節點數量可以不一樣，每一列的節點只能和相鄰列的節點相連，不能跨列相連，節點之間有着不同的距離，距離的值就不在圖上一一標註出來了，大家自行腦補。

2、算法分析

（1）S 到 A 列的最短路徑

首先起點是S，從S到A列的路徑有三種可能：S-A1、S-A2、S-A3，如下圖：

我們不能武斷地說S-A1、S-A2、S-A3中的哪一段必定是全局最短路徑中的一部分，目前爲止任何一段都有可能是全局最短路徑的備選項。繼續往右看，到了B列，按B列的B1、B2、B3逐個分析。

（2）S 到 B 列的最短路徑

先看 B1，經過B1的所有路徑只有3條：S-A1-B1，S-A2-B1，S-A3-B1。

這三條路徑，各節點距離加起來對比一下，就可以知道其中哪一條是最短的。假設S-A3-B1是最短的，那麼我們就知道了經過B1的所有路徑當中S-A3-B1是最短的，其它兩條路徑路徑S-A1-B1和S-A2-B1都比S-A3-B1長，絕對不是目標答案，可以大膽地刪掉了。刪掉了不可能是答案的路徑，就是viterbi算法（維特比算法）的重點，因爲後面我們再也不用考慮這些被刪掉的路徑了。現在經過B1的所有路徑只剩一條路徑了，如下圖：

接下來我們繼續看B2，同理，經過B2的路徑有3條：S-A1-B2，S-A2-B2，S-A3-B2。

這三條路徑中，各節點距離加起來對比一下，肯定也可以知道其中哪一條是最短的，其它兩條路徑路徑S-A2-B2和S-A3-B1也可以刪掉了。經過B2所有路徑只剩一條，如下圖：

接下來我們繼續看B3，同理，經過B3的路徑也有3條：S-A1-B3，S-A2-B3，S-A3-B3。

這三條路徑中我們也肯定可以算出其中哪一條是最短的，假設S-A2-B3是最短的，那麼我們就知道了經過B3的所有路徑當中S-A2-B3是最短的，其它兩條路徑路徑S-A1-B3和S-A3-B3也可以刪掉了。經過B3的所有路徑只剩一條，如下圖：

現在對於B列的所有節點我們都過了一遍，B列的每個節點我們都刪除了一些不可能是答案的路徑，刪掉這些不可能是最短路徑的情況之後，留下了三個有可能是最短的路徑：S-A3-B1、S-A1-B2、S-A2-B3。現在我們將這三條備選的路徑放在一起彙總到下圖：

（3）S 到 C 列的最短路徑

類似上面說的B列，我們從C1、C2、C3一個個節點分析。

經過C1節點的路徑有：S-A3-B1-C1、S-A1-B2-C1、S-A2-B3-C1。

和B列的做法一樣，從這三條路徑中找到最短的那條（假定是S-A3-B1-C1），其它兩條路徑同樣道理可以刪掉了。那麼經過C1的所有路徑只剩一條，如下圖：

同理，我們可以找到經過C2和C3節點的最短路徑，彙總一下：

到達C列時最終也只剩3條備選的最短路徑，我們仍然沒有足夠信息斷定哪條纔是全局最短。最後，我們繼續看E節點，才能得出最後的結論。

（4）S 到 E 的最短路徑

到E的路徑也只有3種可能性：

E點已經是終點了，我們稍微對比一下這三條路徑的總長度就能知道哪條是最短路徑了。

在效率方面相對於粗暴地遍歷所有路徑，viterbi 維特比算法到達每一列的時候都會刪除不符合最短路徑要求的路徑，大大降低時間複雜度。

（以上所有內容轉自知乎《如何通俗地講解 viterbi 算法？》，如有侵權請聯繫我刪除！）

3、python實現

上述問題只涉及節點之間的距離，這裏我們假設每個節點本身有一個狀態，節點與節點之間的距離用權重表示。爲了簡化描述和編程方便，將 S 到 A 列的權重全部置爲1，C 列到 E 的權重也全部置爲1，只考慮A、B、C三列。

用矩陣 state 表示節點的狀態，(d, n)=state.shape，d 就表示每一層節點的數量，n 表示總層數。

用矩陣 weight 表示相鄰層之間的路徑距離，n 層就有 n-1 個權重矩陣，weight[k][i][j] 表示第 k-1 層的節點 i 到第 k 層的節點 j 之間的距離。

import numpy as np

state = [[0.9, 0.1, 0.3],
         [0.1, 0.8, 0.4],
         [0.0, 0.1, 0.3]]
weight = [[[0.1, 0.4, 0.5], [0.2, 0.7, 0.1], [0.9, 0.0, 0.1]],
          [[0.8, 0.1, 0.1], [0.4, 0.3, 0.3], [0.1, 0.2, 0.7]]]


def viterbi(state, weight):
    '''
    :param state: 狀態矩陣
    :param weight: 權重矩陣
    :return:
    '''
    state = np.array(state)
    weight = np.array(weight)
    d, n = state.shape
    assert weight.shape == (n - 1, d, d), 'state not match path!'

    # 路徑矩陣，元素值表示當前節點從前一層的那一個節點過來是最優的
    path = np.zeros(shape=(d, n))

    for i in range(n):
        print(f'進入第 {i} 層')
        if i == 0:
            path[:, i] = np.array(range(d)) + 1
            print('')
            continue

        for j in range(d):
            print(f'更新節點 ({j}, {i}) 的狀態')
            temp = state[:, i - 1] * weight[i - 1, :, j]
            temp_max = max(temp)
            temp_index = np.where(temp == temp_max)
            path[j, i] = temp_index[0] + 1

            state[j, i] = max(temp) * state[j, i]
        print('')

    print(state)
    print(path)


if __name__ == '__main__':
    viterbi(state, weight)