20年前的幾行代碼竟如此牛逼？驚了

最近在知乎上看到了一個話題：世界上有哪些代碼量很少，但很牛逼很經典的算法或項目案例？其中有一個回答是雷神之錘3中的快速逆平方根算法，我本以爲是電影中雷神3中出現的代碼，就特別好奇點進去看了一下，結果真是對應了代碼註釋中的一句話“what the fuck?”。

越不會越好奇，查過之後才知道這是一款遊戲中的部分代碼，1999年發佈，2005年開源，距離現在已經有20年了，據說這部分代碼出現在公共場合時，幾乎震住了所有人，也就是下面這幾行代碼：

float Q_rsqrt( float number )
{
  long i;
  float x2, y;
  const float threehalfs = 1.5f;
  x2 = number * 0.5f;
  y  = number;
  i  = * ( long * ) &y;  // evil floating point bit level hacking
  i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?
  y  = * ( float * ) &i;
  y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 1st iteration
  // y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
  return y;
}

可能很多程序員老手都知道這段牛B的代碼，但對於很多人應該是空白的。求一個數的平方根我們通常會用到庫中的內置方法，也就是sqrt，比如C語言中求一個數的平方根倒數，利用float(1.0/sqrt(x))即可。

可能那個時候沒有sqrt方法，作者被“被逼無奈”想到了這種方法，但是最牛逼的是這種方法要比sqrt方法快的多，據說在有的CPU上可以快4倍，也有說快20%的，但我的電腦上編譯是要快接近30%，而快的很大原因之一是因爲代碼中的一串神祕的數字0x5f3759df。下面結合一些相關知識和推導來介紹作者幾個騷操作，最終的目的都是爲了得到這個神祕數字。

首先我們要先明確一個基礎知識，即單精度浮點數在32位中是如何儲存的。32bit可以共分爲三個部分S、E、M，其中S只有1位，0表示正數、1表示負數；E表示小數，共有8位；M表示尾數，共有23位，如下圖：

以數字4.25爲例，整數5的二進制表示爲0100；與二進制表示整數同理，小數也是如此，比如$2^0$右側就是$2^{-1}$，那麼4.25轉化爲二進制形式就是0100.01。將二進制形式轉用科學計數法的形式可以表示爲$1.0001\times2^2=(1+0.0001)\times2^2$。

這裏先用s、e、m表示，因爲S、E、M另有含義

由於4.25是正數，那麼s位就存儲爲0，然後可以將指數處的2+127以二進制形式存儲至e中，加上127的理由是將指數的範圍由(-127,128)移碼至(0,255)，這樣就可以用指數位置就不用考慮符號問題。最後將小數點後的0001存儲至m中，因爲後面的數足以確定小數點前爲1，所以沒有必要再存儲1，綜上就是一個單精度浮點數在32位內存中的存儲方式，如下圖：

所以對於一個要開放的浮點數x，有以下表示形式，先暫稱爲存儲表達式(這個表達式下文需要用到)：

$x = (-1)^s+(1+m)\times 2^e$

雖然e和m表示的實際意義是浮點數，但是畢竟二進制是都可以轉換成十進制的整數嘛，那麼如果從整數的角度看，整數E和浮點數e、整數M和浮點數m有沒有某種關係呢？答案是肯定有的，但是理由呢我不知道=.=

$E = 127+e$

$M = 10^{19}m$

加127的原因上文已經介紹了，就是爲了調整指數的符號範圍；$10^{19}$是m中1後所需補零的個數，因爲當從浮點數角度看時，1左邊的0是有起到佔位作用的，而如果從整數角度看時，1右邊的0纔有實際意義，所以在原基礎的m上乘以1後零個數的次冪就可以轉化至整M。

我們再回到最初的問題，對於一個浮點數x,求它的逆平方根：

$y = \frac{1}{\sqrt{x} \quad} = x^ {- \frac{1}{2}}$

如果對等式兩邊同時取對數：

$log_2 y = - \frac{1}{2} log_2x$

如果結合上面的存儲表達式，又可以得到一個新的等式：

對於上式中的$log_2(1+m_x)$可以繪製出一條平滑的曲線，我們可以用直線$y=m_x$對比(如下圖)，可以看到兩條線在(0,1)之間非常相近，那麼如果再將這條直線向上平移一點點，可以假設這個平移的距離爲b，那麼兩條線就有一種近似相等的關係：$log_2(1+m_x)\approx m_x+b$。

需要注意的是這種關係成立的前提是$0\leq m_x\leq 1$，經代入得到下面式子：

如果對$log_2 y$做相同處理，那麼就有下面式子：

$m_y+e_y+b \approx -\frac{1}{2}(m_x+e_x+b)$

上面我們不是利用整數型的M和E分別表示m和e嘛，那麼自然可以用整數型套用上式中的浮點型，對於不同數字，整數型和浮點型之間的關係也不同，所以這裏統一用常量B和L表示，如下：

$E = B+e$

$M = Lm$

用整數型替換浮點型可以得到新式子：

可以看到整理後的式子左右有一個相同的部分$M+LE$，我們已經知道了這三個字母代表的意思，但合在一起表達的又是一個新概念，合併兩個整數是一個很簡單的問題，比如合併33和55，$33\times100+55=3355$，那麼$LE+M$不就是這個道理嘛，只不過前者是十進制後者是二進制，所以$LE+M$的作用就是將M和E存儲的數字捆綁在一起，用來表示儲存的數字，有人想前面不是還有一位S嗎？S的作用是表示存儲數字的正負，根號下的數字一定爲正，所以S這位一定爲0，沒有實際意義。有沒有感覺真的秒！

既然這個組合用來表示一個數字，那麼就可以用另一個變量I來表示：

$I_y \approx \frac{3}{2}L(B-b) - \frac{1}{2}I_x$

其實代碼中下面這條語句就是套用的這個公式。

代碼中利用了一個右移運算表示公式中的$\frac{1}{2}$，而$\frac{3}{2}L(B-b)$就是求出代碼中這串神祕數字的基礎，至於怎麼求得的，只有作者知道。後面又有一位大佬對這串數字進行推導，經過精密的演算求得了一串新的數字0x5f375a86，它略優於原常數，大佬只管算，我們膜拜就好。

因爲上文中含I的公式是從整型的角度計算的，所以需要強制類型轉換將整形轉回浮點型，緊接着最後一行代碼是利用牛頓迭代法提高結果的精確度，沒有什麼驚奇之處，下面回顧一下上文過程中作者的幾個騷操作：

• 用整數型表示浮點型
• $log_2(1+m_x)\approx m_x+b$約等關係的替換
• $LE+M$捆綁二進制

也許作者利用的想法是已經存在了很久的理論，但是能把這些理論相組合並靈活運用創造出這種新興高效的算法，真的不得不感嘆一句NiuB，但需要注意的是這個算法依賴於浮點數的儲存和字節順序，所以在Mac上行不通。

上面代碼可以再精簡一些，但是原理一致，只是將一些變量簡化：

float InSqrt(float x)
{
	float xhalf = 0.5f * x;
	int i = *(int*)&x;
	i = 0x5f3759df - (i>>i);
	x = *(float*)&i;
	x = x*(1.5f-xhalf*x*x);
	return x; 
}

可能你看到最後還是那句"what the fuck"，畢竟太多的公式推導都並沒有相應的理論依據，只是靠着作者這些腦洞大開的想法，難道就是“我不要你覺得，我只要我覺得?”，關鍵還是要了解一下流程中幾處很牛逼的想法，平時編程中不失爲一種辦法嘛，也可以當成一次知識拓展。

參考視頻及博客：
https://www.bilibili.com/video/BV1D4411Y7TP?from=search&seid=424001316764974197
https://blog.csdn.net/noahzuo/article/details/51555161

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