基爾霍夫矩陣&矩陣樹定理學習筆記

背景：

好多東西沒學。
勇士被快船驚天大逆轉！！！
快船$NB$。
緊接着下午打球水杯被搞爛了$...$

正題：

$Part1$行列式：

對於一個$n*n$的矩陣$A$。
設$p$枚舉列的全排列，$τ(p)$表示排列$p$的逆序對的個數。
則其行列式爲$det_A=\sum_p(-1)^{τ(p)}\prod_{i=1}^na_{i,p_i}$
那麼這個東西有什麼性質呢？

$[1]$：
交換行和列，則行列式結果的符號取反。
這很顯然，因爲逆序對的奇偶性剛剛好相反。

$[2]$：
兩行或兩列一樣時，行列式結果爲$0$。
這很顯然，因爲$p$全部枚舉過了，且一定枚舉到相同的序列，而$i$又會枚舉相等，所以成立。

$[3]$：
某一行或某一列乘上了$k$，最後的結果也會乘$k$。
這很顯然，你考慮每一行或每一列的貢獻，一個$\prod$有且僅會被枚舉$1$次乘$k$的數，每一次乘$k$，因此你將這個$k$提取出$\sum$外面即可，那就是剛剛好乘$k$。

$[4]$：
某一行是另一行的$k$倍或某一列是另一列的$k$倍，最後的結果爲$0$。
其實就是$[2],[3]$的結合體。你先提取出一個$k$，那麼就會存在某兩行或某兩列相等，那麼結果就爲$0$了。

$[5]$：
某一行加上另一行的$k$倍或某一行列加上另一列的$k$倍，最後結果的不變。當某一行加上另一行的k倍時，行列式不變。
證明：可以從求和式子的每一項的那一行的那個元素下手，
把$det$求和式拆成兩個$det$求和式（就是把被加上$k$倍的哪一行/列拆爲原來的和新加的）：
$det_1$與原矩陣的行列式求法相同；
$det_2$所代表的矩陣中有兩行成比例，比例係數爲$k$，值爲$0$ （性質$[4]$）。
所以相比原來的行列式，值不變。

至此，行列式就結束了。

$Part2$基爾霍夫矩陣&矩陣樹定理：

不知道是不是基爾霍夫電流頂定律的那個人發明的？
這裏的基爾霍夫矩陣可以用來求無向圖生成樹的個數。
對於一個無向圖$G$，它的生成樹個數等於其基爾霍夫矩陣任何一個$N-1$階主子式的行列式的絕對值。
所謂的$N-1$階主子式就是對於一個任意的一個$r$，將矩陣的第$r$行和第$r$列同時刪去得到的新矩陣。
基爾霍夫矩陣的一種求法（矩陣樹定理）：$基爾霍夫矩陣K=度數矩陣D-鄰接矩陣A$。

解釋一下：
度數矩陣$(i,i)$表示$i$這點的度，其餘點均爲0。
鄰接矩陣$(i,j)$表示$(i,j)$連的邊數；特別的，若$i=j$，則爲$0$。

$Part3$快速求行列式：

首先對於這樣一個矩陣：

注意到是一個上三角矩陣（左下的值爲$0$，而右上有值）。
其行列式的值爲對角線的乘積（同理下三角矩陣）。
因爲只有$p$的排列爲$1234$ 時，$\prod{}$後纔沒有$0$出現，纔對結果有貢獻。

又因爲性質$[5]$，所以採用高斯消元的方法，把矩陣消爲一個上三角矩陣後，然後求出對角線的積，便是該矩陣的行列式的值。
複雜度$\Theta(n^3)$。

$Part4$應用：

我們可以用上述方法求解基爾霍夫矩陣，就能解決一些問題：
$[1]$：
求無向圖生成樹的個數。

$[2]$：
內向樹：樹上的邊是由兒子指向父親；
外向樹：樹上的邊是由父親指向兒子。
若求內向生成樹的個數，則$D_{i,i}$表示入度即可；
若求外向生成樹的個數，則$D_{i,i}$表示出度即可。