廣義圓方樹學習筆記 & luogu P4320 道路相遇

背景：

補一下坑吧。

題目傳送門：

https://www.luogu.org/problem/P4320

題意：

一個圖，每一次詢問兩個點的所有路徑的交集的大小（對於一條路徑，不能走過同樣的點）。

思路：

我真的快想出正解了，但是不會實現。
容易發現最後產生貢獻的點一定是割點。
一開始我的想法是用這個割點來代替點雙裏的所有的點，後來發現這樣的做法極其難以實現，而且會被菊花圖卡掉。
於是知道了一個叫做廣義圓方樹的東西。
其實仙人掌上的普通圓方樹更加難以理解。

這是個什麼東西呢？
它是這樣子建樹的：
找出所有的點雙（$\text{Tarjan}$即可），新開一些點（我們稱爲“方點”）來連向每一個的點雙裏的點（我們稱爲“圓點”），然後斷掉這個點雙內圓點的連邊。
具體實現的時候可以新開一個東西維護建邊情況即可。
具體長這個樣子 （又是這張圖，盜的） ：
這個東西有什麼性質呢？
你的點雙裏的東西可以維護在方點裏；兩個圓點之間必定是一個方點，兩個方點之間必定是一個圓點；最後的圖形一定是一棵樹等等。

我們從圖變成了樹，那麼很多樹上的操作就可以上了。
總的來說這是一個極其優秀的東西。


對於這道題來說因爲方點必定與點雙對應，因此答案就爲路徑上圓點的數目。你可以樹剖維護，但是還是太麻煩了。我們知道：兩個圓點之間必定是一個方點，兩個方點之間必定是一個圓點，因此答案就爲$\lceil\frac{路徑長度}{2}\rceil$（爲什麼向上取整，因爲你查詢答案必定查詢圓點，方點是新建的，因此圓點一定比方點多$1$）路徑長度可以由深度的差得到。

代碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
	int n,m,q,op,lena=0,lenb=0;
	int lasta[2000010],lastb[2000010],sta[2000010],dfn[2000010],low[2000010],dep[2000010],fa[2000010][25];
	struct node{int x,y,next;} b[2000010],a[2000010];
void insa(int x,int y)
{
	a[++lena]=(node){x,y,lasta[x]}; lasta[x]=lena;
}
void insb(int x,int y)
{
	b[++lenb]=(node){x,y,lastb[x]}; lastb[x]=lenb;
}
int top=0,cnt=0;
void tarjan(int x)
{
	dfn[x]=low[x]=++cnt;
	sta[++top]=x;
	for(int i=lastb[x];i;i=b[i].next)
	{
		int y=b[i].y;
		if(!dfn[y])
		{
			tarjan(y);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
			if(low[y]>=dfn[x])
			{
				op++,insa(op,x),insa(x,op);
				int tmp;
				do
				{
					tmp=sta[top--];
					insa(op,tmp),insa(tmp,op);
				} while(tmp!=y);
			}
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
}
void dfs(int x)
{
	for(int i=lasta[x];i;i=a[i].next)
	{
		int y=a[i].y;
		if(y==fa[x][0]) continue;
		fa[y][0]=x;
		dep[y]=dep[x]+1;
		dfs(y);
	}
}
int lca(int x,int y)
{
	if(x==y) return x;
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
	if(x==y) return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
int main()
{
	int x,y;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d %d",&x,&y);
		insb(x,y),insb(y,x);
	}
	op=n;
	tarjan(1);
	dep[1]=1;
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=20;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%d %d",&x,&y);
		printf("%d\n",(dep[x]+dep[y]-2*dep[lca(x,y)])/2+1);
	}
}