NFM——引入pooling和NN的FM

Neural Factorization Machines for Sparse Predictive Analytics paper

解决痛点

NFM可以看做是主要针对FM和FNN的改进，他们缺点如下

• FM模型虽然学习到了交叉特征，但是对于交叉后的特征仍然是线性建模，学习不到非线性的关系
• FNN模型虽然在底层用的FM进行向量初始化，在上层使用DNN来学习到高阶非线性特征，但是单个特征embedding后通过拼接（concatenating），然后在后续的DNN结构中学习到交叉特征（deep& wide和deep cross也是如此），但是在实际应用中，这种方法对于交叉特征的学习不尽人意。

所以需要一个模型既能学习到高阶特征，又能学习到非线性关系，因此提出了NFM模型。

目标函数

NFM模型的目标函数如下所示：
$\hat{y}_{N F M}(\mathbf{x})=w_{0}+\sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i}+f(\mathbf{x})$
前两项分别为偏置项和线性部分，$f(X)$为NFM的核心部分

网络结构

NFM的结构如下图所示，其中省略了常数项和线性回归部分。

Input Layer

图中最底层的部分，可以看到应该是由sparse部分（图中进行了one-hot）个dense（图中的0.2）部分组成。

Embedding Layer

$V_{i}$表示第n个特征embedding后的向量，它是一个k维向量，$\mathbf{v}_{i} \in \mathbb{R}^{k}$。

经过Embedding后就可以得到一个输入特征的embedding向量的集合$V_{x} =\left\{x_{1} \mathbf{v}_{1}, \dots, x_{n} \mathbf{v}_{n}\right\}$，该集合中并不是n个向量，因为有的$x_{i}=0$.

注意这一步这是得到了对应特征的embedding向量的集合，并没有进行拼接或者求平均的操作。

Bi-Interaction Layer

上一步得到特征向量的集合后，在这一层用一种方式来学习到这些向量的交叉信息。
定义如下的运算，将一个集合中若干个向量转化为一个$K$维向量
$f_{B I}\left(\mathcal{V}_{x}\right)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} x_{i} \mathbf{v}_{i} \odot x_{j} \mathbf{v}_{j} \qquad (1)$
可以看到这里计算只对$x_{i} \neq 0$的特征进行交叉，注意上式表达的是向量计算，并没有精确到元素，其含义为：将n个向量两两配对，这些pair对其第$i$个位置的乘积的总和构成结果的第$i$个元素。

对(1)式（$n^2$时间复杂度），进行优化，得到：
$f_{B I}\left(\mathcal{V}_{x}\right)=\frac{1}{2}\left[\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} \mathbf{v}_{i}\right)^{2}-\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} \mathbf{v}_{i}\right)^{2}\right] \qquad(2)$
这一步二阶交叉项等于0.5*（和的平方减去平方的和）原理为：
$(a+b+c)^2 -(a^2 + b^2 + c^2) = 2ab + 2ac + 2bc$

这样在线性的时间复杂度内就可以进行计算，如果考虑到$f_{B I}\left(\mathcal{V}_{x}\right)$的维度$K$，那么(2)的时间复杂度为$KN_{x}$,$N_{x}$为非零特征的个数。

这里生成二阶交叉信息和传统FM的区别是，就目标函数来看，FM先对所有特征进行交叉，最终保留存在存在的pair对，但是NFM是先保留存在的特征，然后从中提取出交叉信息，相当于对$\mathcal{V}_{x}$进行了一次池化操作，所以这层又叫 bi-interactio pooling层。该层没有引入额外的参数。

Hidden Layers

隐藏层没啥特别的，都是乘上权重加上偏置项然后过激活函数：
$\begin{array}{l} \mathbf{z}_{1}=\sigma_{1}\left(\mathbf{W}_{1} f_{B I}\left(\mathcal{V}_{x}\right)+\mathbf{b}_{1}\right) \\ \mathbf{z}_{2}=\sigma_{2}\left(\mathbf{W}_{2} \mathbf{z}_{1}+\mathbf{b}_{2}\right) \\ \cdots \cdots \\ \mathbf{z}_{L}=\sigma_{L}\left(\mathbf{W}_{L} \mathbf{z}_{L-1}+\mathbf{b}_{L}\right) \end{array}$

Prediction Layer

接着对于隐藏层的最后一层的输出，再乘个权重（每个元素对应的权重构成$h$）
$f(\mathbf{x})=\mathbf{h}^{T} \mathbf{z}_{L}$
那么整个NFM的输出为：
$\begin{aligned} \hat{y}_{N F M}(\mathbf{x}) &=w_{0}+\sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i} \\ &+\mathbf{h}^{T} \sigma_{L}\left(\mathbf{W}_{L}\left(\ldots \sigma_{1}\left(\mathbf{W}_{1} f_{B I}\left(\mathcal{V}_{x}\right)+\mathbf{b}_{1}\right) \ldots\right)+\mathbf{b}_{L}\right) \end{aligned}$
即由偏置项加上线性回归项再加上深度FM项，这三个部分都是$K$维的向量。

NFM的特例

当NFM的hidden layer为0层时，NFM的表达式如下：
$\begin{aligned} \hat{y}_{N F M-0} &=w_{0}+\sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i}+\mathbf{h}^{T} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} x_{i} \mathbf{v}_{i} \odot x_{j} \mathbf{v}_{j} \\ &=w_{0}+\sum_{i=1}^{n} w_{i} x_{i}+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n} \sum_{f=1}^{k} h_{f} v_{i f} v_{j f} \cdot x_{i} x_{j} \end{aligned}$
当权重$h$为常数向量$[1,1,....,1]$时，NFM退化为FM