POJ 1651 Multiplication Puzzle【最優矩陣鏈乘，DP】

其實就是算法課上的例題，找到oj上的題提交測試一下。

POJ 1651 Multiplication Puzzle

題意可以轉換爲：給你n-1個矩陣，行×列分別是$a_0*a_1, a_1*a_2 ,..., a_{n-2}*a_{n-1}$。要將它們全部相乘，求一種加括號的乘法次序，使得矩陣的乘法次數之和最小，也就是動態規劃中經典的最優矩陣鏈乘問題。
另外就是注意下標，i是矩陣Ai的列下標，i-1是矩陣Ai的行下標。

設$dp[i][j]$表示第$i$個矩陣到第$j$個矩陣的最小乘法次數，則有：
$dp[i][j]= \begin{cases} 0, &if(i==j)即長度爲1 \\ min\{dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j]\},&i<j\&\&k∈[i,j-1](從k處斷開)\end{cases}$
按長度從小到大遍歷得到$dp[i][j]$，時間複雜度$O(n^3)$。

代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int n,a[N],dp[N][N];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    // 注意下標，i是矩陣Ai的列下標，i-1是矩陣Ai的行下標
    for(int i=0;i<n;i++) // 行列下標[0,n-1]
    	cin>>a[i];
    memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
    n--; // 只有n-1個矩陣 下標[1,n-1]
    for(int i=1;i<=n;i++) // 長度爲1
        dp[i][i]=0;
    for(int len=2;len<=n;len++) // 長度2->n
    {
        for(int i=1;i+len-1<=n;i++) // 起點
        {
            int j=i+len-1; // 終點
            for(int k=i;k<j;k++) // 斷開位置k
            // 矩陣下標分爲[i,k] [k+1,j]
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j]);
                //printf("i=%d j=%d k=%d dp[i][j]=%d\n",i,j,k,dp[i][j]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[1][n]);
    return 0;
}
/*
6
30 35 15 5 10 20 25
*/