POJ 1651 Multiplication Puzzle【最优矩阵链乘，DP】

其实就是算法课上的例题，找到oj上的题提交测试一下。

POJ 1651 Multiplication Puzzle

题意可以转换为：给你n-1个矩阵，行×列分别是$a_0*a_1, a_1*a_2 ,..., a_{n-2}*a_{n-1}$。要将它们全部相乘，求一种加括号的乘法次序，使得矩阵的乘法次数之和最小，也就是动态规划中经典的最优矩阵链乘问题。
另外就是注意下标，i是矩阵Ai的列下标，i-1是矩阵Ai的行下标。

设$dp[i][j]$表示第$i$个矩阵到第$j$个矩阵的最小乘法次数，则有：
$dp[i][j]= \begin{cases} 0, &if(i==j)即长度为1 \\ min\{dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j]\},&i<j\&\&k∈[i,j-1](从k处断开)\end{cases}$
按长度从小到大遍历得到$dp[i][j]$，时间复杂度$O(n^3)$。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=110;
int n,a[N],dp[N][N];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    // 注意下标，i是矩阵Ai的列下标，i-1是矩阵Ai的行下标
    for(int i=0;i<n;i++) // 行列下标[0,n-1]
    	cin>>a[i];
    memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
    n--; // 只有n-1个矩阵 下标[1,n-1]
    for(int i=1;i<=n;i++) // 长度为1
        dp[i][i]=0;
    for(int len=2;len<=n;len++) // 长度2->n
    {
        for(int i=1;i+len-1<=n;i++) // 起点
        {
            int j=i+len-1; // 终点
            for(int k=i;k<j;k++) // 断开位置k
            // 矩阵下标分为[i,k] [k+1,j]
            {
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j]);
                //printf("i=%d j=%d k=%d dp[i][j]=%d\n",i,j,k,dp[i][j]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[1][n]);
    return 0;
}
/*
6
30 35 15 5 10 20 25
*/