摘要：
目前，隨着光通信向高速率(速度>40Gb/s)發展以及激光加工的普及，市場上對瞬時大功率，高重複頻率且穩定的激光的需求越來越大，其中以半導體激光器爲泵浦源，摻雜光纖爲增益介質的光纖激光器因其輸出功率高(泵浦能量低)，重複頻率高[通過利用羣速度色散（GVD)和非線性自相位調製(SPM),能產生接近傅里葉變換極限的光孤子脈衝]，成本低，低損耗(在1.55um處損耗已降爲0.22dB/km)，光束質量好(光束衍射倍率因子M^2<1.05),體積小(無需水冷散熱裝置)，壽命長等優勢而被廣泛應用。基於此實際應用考慮，將鎖模技術與光纖激光器相結合的技術收到普遍關注。本篇文章將就鎖模光纖激光器的基本原理進行闡述，分析以及數值仿真。
基本原理：
鎖模光纖激光器的結構一般由半導體激光器(泵浦源)，摻雜光纖(增益介質),諧振腔(一般爲F-P諧振腔或環形諧振腔)，輸出耦合器和鎖模調製器構成，其中與一般光纖激光器不同且最重要的便是鎖模調製器。結構如圖所示：
綜合考慮摻雜光纖的增益帶寬，振盪閾值和F-P諧振腔的振盪模式選擇，光纖中將產生有限個振幅不等的縱模(縱模間距相同)。其結果如圖所示：
其各個縱模之間相位無關係，總的輸出光強爲所有縱模電矢量的加和，其最終結果導致振幅呈非週期，無規律波動，此時稱爲多模自由振盪模式，沒有什麼實用價值。如果我們通過某些方法使得各個相鄰縱模之間的相位差爲一定值，我們可以得到總的電矢量爲:
其中2M+1爲振盪縱模數，W0爲中心角頻率，ΔW爲縱模間隔，a爲相鄰縱模位相差。此時縱模輸出爲鎖模模式。兩種模式的時域對比圖如圖所示：
我們可以得到，脈衝週期爲光在諧振腔類往返一次的時機的倒數，脈寬近似爲振盪線寬的倒數(稍小於增益線寬),其輸出峯值功率是多模自由振盪模式平均功率的2M+1倍。綜述所述，我們可以通過鎖模來得到高峯值功率，窄脈寬的週期光脈衝。
鎖模分類：
光纖激光器中的鎖模方法大致分爲3種：
1.主動鎖模；2.被動鎖模；3.混合鎖模
主動鎖模：
主動鎖模是通過外界信號來週期性調製諧振腔參數，從而達到縱模位相差恆定。在諧振腔類加入調製器，以等於縱模間隔的頻率進行調製，使被調製縱模產生邊頻，達到與相鄰縱模之間的位相差恆定。我們以幅度調製(FM)爲例進行闡述:我們使用基於M-Z干涉儀的波導型LiNbO3電光振幅調製器(減少耦合損耗)。假設增益譜線中心頻率的縱模首先振盪，則其被調製後電矢量爲：
其中，Ma爲調幅係數，可以看出受調製後，還產生了角頻率相差爲縱模間隔，相位差恆定的兩個邊頻，以此同理，新產生的邊頻還將產生新的邊頻，直至產生所有縱模，且位相差爲定值，滿足鎖模要求。
主動鎖模光纖激光器優點是重複頻率高，中心波長可調諧，易於實現高次諧波脈衝鎖模，且脈衝爲無頻率啁啾的接近傅里葉變換極限的孤子脈衝。但缺點卻也很致命：脈衝寬度較大(ps級)，易受環境影響，輸出脈衝不穩定，成本高，無法實現全光纖結構，需要通過複雜的負反饋技術來保持脈衝穩定輸出。
被動鎖模：
被動鎖模不需要在光纖中加入調製器，其基本原理是利用光纖中的非線性效應(主要是SPM)對輸入脈衝強度的依賴性，其效果可以等效爲飽和吸收體效應，即等效爲一種特殊材料，它對較大的光強有較小的吸收係數，對較小的光強有較大的吸收係數，從而導致光強大處光強增加，光強小處光強減少，從而實現對光脈衝的窄化。就其實現方法上可以從兩個方向上尋求突破，其一是尋找等效具有該效應的新的材料，如石墨烯等。其二是利用理論進行計算分析設計出具有等效的飽和吸收體效應的光路結構。考慮到我對材料學方面的一竅不通，我選擇研究光路結構並分析。這其中的典型傳統結構包括：非線性光纖環形鏡，基於非線性偏振旋轉效應的被動鎖模(稍後討論)等等。
其優點是脈寬窄，可實現全光纖集成，能夠長久穩態運行，缺點是重複速率較低。
混合鎖模
在激光器中同時使用主動和被動鎖模，同時吸取二者的長處，能夠產生窄脈寬，高重複頻率且穩定的脈衝，但二者的缺點卻也依然存在。
理論分析模型：
這部分是我這篇文章的重點，涉及到大量的理論知識與數學，可能對於一些人可能會不屑一顧，但我認爲這恰是光纖激光器學習中最重要也最基礎的部分，此後所有的光路結構都可以從這裏加以修正進行數值分析仿真，同時也涉及一些最基礎的光纖光學的概念。考慮到光纖光學過於複雜，短時間類難以方方面面涉及掌握，我主要針對一些我認爲最重要，最核心的進行學習，當然學的也是相當不徹底，見諒。具體可以參考光纖光纖的權威之作：Agrawal的《非線性光纖光學原理及應用》，一共550頁，夠看一年了。。。
基本概念：
1）色散：(廣義的色散)
色散在光纖中往往是不可避免，但我們又儘量不希望色散的存在，因爲色散總是導致光脈衝的展開，從而導致碼間串擾，大大限制了通信速度。
對於光纖，主要由一下四種色散：
模式色散，材料色散，波導色散，偏振模色散。
模式色散：是指不同模式的光入射，因傳播防暑不同而產生的色散，考慮到目前大容量，高速率通信中大都採用單模光纖，模式色散就無需考慮了。
材料色散：不同波長的光對應的折射率不同導致的速度的不同，這是傳統的色散的定義。
波導色散：不同波長的光在全反射時，有倏逝波的存在，導致不同波長的光將進入包層中不同深度後才返回光纖中，從而在效果上導致各個波長的光的速度不同。
材料色散和波導色散合稱色度色散，二者作用可以相互抵消，例如對於波長在1.31um的光纖，其色度色散爲0。
偏振模色散：由於光纖本身材料的不對稱性或缺陷，或者由於光纖受到非均勻應力，發生了光測彈性效應，從而使光纖變成了各向異性介質(單軸晶體)，從而發生了雙折射效應。沿X與Y軸的偏振分量將產生相位差，從而導致脈衝展寬。偏振模色散一般很小，但在高速通信中，對於色度色散爲0的單模光纖，偏振模色散將很大程度限制了光纖的發展。色散通常有三種表示方式，分別爲最大時延差(ps/km)，色散係數(ps/kmnm或ps^2/km)，光纖帶寬(MHznm)，具體不展開了。
同時色散往往存在高階色散，即K與W並非是線性關係。一般用泰勒級數在中心角頻率W0的展開K(w)表示色散。其中一階係數B1爲羣速度倒數，二階係數B2爲羣速度色散參量(GVD),它在光纖光學中比較重要。B2>0爲正常色散，B2<0爲反常色散。往往反常色散和非線性自相位調製能作用夠相抵消互，形成穩定的孤子脈衝，後面我們將進行討論。
2）非線性效應：
非線性效應是相當的複雜，比較常見的就有自相位調製(SPM),交叉相位調製(XPM)，四波混頻(FWM)，受激拉曼散射(SRS)和受激布里淵散射(SBS)等，主要原因電偶極子極化強度與電場強度並不是簡單的線性關係，這裏不討論了。就簡單討論下自相位調製作用。
在光強較大的情況下，折射率將隨該光脈衝的光強變大而變大，即相位受到光強大小的調製，且爲線性關係，從而波數k也將變化：B’=B+γP,P爲光功率,γ爲非線性係數，單位W^-1/km,大小範圍1~10。
而交叉相位調製則是不同光脈衝，或不同偏振態的光脈衝受其他光脈衝的光強調製。其位相貢獻是SPM的兩倍。當光纖爲單軸雙折射晶體時我們往往需要考慮不同偏振態的脈衝之間的XPM效應。
SRS和SBS都是高階非線性效應，一般只有光脈寬<100f或功率很大時才需考慮。本文章不考慮這些效應。
光脈衝傳輸方程：
從麥克斯韋方程組出發，使用慢變包絡近似(即假設以光脈衝包絡作爲函數，忽略高階導數，簡化計算與推導）。
1）普通光纖:
我們可以得到如下方程：
這個就是著名的非線性薛定諤方程(NLS),當然是基於一定前提下得到的簡化方程：不考慮拉曼散射，不考慮三階及以上色散效應，不考慮光纖損耗，脈寬<100fs。等式右邊第一項爲羣速度色散作用，第二項爲非線性作用。
A.該方程使用羣時延座標系(即以羣速度vg移動),T=t-z/vg,從而可以去除一階色散效應而只考慮二階色散效應。
B.變量做了歸一化處理：τ=T/T0,T0爲脈寬；ξ=z/Ld,Ld=T0^2/|B2|爲色散長度,z爲脈衝傳播長度；U(z,t)=A/√P0，A爲電矢量振幅，P0爲峯值功率;Lnl=1/γ,Lnl爲非線性長度；Ld與Lnl分別表徵GVD和SPM大小(越小作用越大)，N=√Ld/Lnl表徵GVD和SPM那個影響大。
該偏微分方程難以接出解析解，我們需要對其進行數值分析。這裏我們使用分步傅里葉變換算法(SSFT)。我們分別將羣速度色散作用與非線性作用分別用算符D與N表示，則將上述方程轉化爲常微分方程：
則該常微分方程解爲:U=Cexp[(D+N)z]
我們將脈衝的傳播過程分成一個個小間隔dz,再將dz分爲h=dz/2。在該間隔內分別執行如下3個操作(使用對稱分步傅里葉變換,其精度爲步長的三次方，優於傳統的SSFT）：
1.首先在前h內僅讓GVD產生效果，得U(Z+h,t)=U(z,t)exp(Dh)。對該式進行傅里葉變換,可將U對t的二階偏導利用傅里葉變換的性質變爲(iw)^2,則:
F[D]=i/2sgn(B2)W^2;再用快速傅里葉變換求Ut的傅里葉變換F[Ut]，則更新後的Ut的傅里葉變換爲U(W)=F[Ut]F[D]，再用傅里葉逆變換求出Ut。
2.接着，在dz內讓SPM產生效果，得更新後的Ut=Utexp(N2h)。
3.之後再重複步驟1，即可得到z+dz後的脈衝。
具體matlab程序如下：
mmm=0.3;%衡量色散作用大小
N=3;%描述GVD與SPM作用誰大
M=2^11;%時間序列大小
dz=0.01;%位置序列步長
B2=-20;%羣速度色散B2>0正常色散，B2<0反常色散
Tw=10;%時間長度
M1=M-1;
dt=2*Tw/M1;%時間序列步長
Zw=mmm;
h=dz/2;%分步傅里葉變換色散作用單位步長
t=-Tw:dt:Tw;%時間序列
c=0;%啁啾係數
Uin=exp(-t.^2/16).*exp(-1i*0.5*c*t.^2);%輸入初始高斯型孤子序列(包括產生的啁啾效應)
Iin=Uin.*conj(Uin);%光強序列
Fs=1/dt;%取樣頻率
df=Fs/M1;%取樣頻率間隔/分辨率(同時域間隔)
dw=2*pi*df;%取樣角頻率
Ws=2*pi*Fs;%取樣角頻率間隔
w=0:dw:Ws;%取樣角頻率序列
Mm=M/2;
w1=0:dw:Mm*dw;
w2=(Mm-1)*dw:-dw:dw;
ww=[w1 w2];
%判斷正常色散還是反常色散
if B2>=0%正常色散
sgn=1;
else %反常色散
sgn=-1;
end
Dw=1i*sgn*0.5*ww.^2;%色散算子的傅里葉變換
Mw=exp(Dw*h);%孤子行走h後色散產生的影響因子
t0=t;
nn=1;
Ut=Uin;
ttt=floor((Zw-dz)/dz);%步長序列
U=zeros(ttt+1,length(t));
zzz=dz:dz:Zw;
for z=dz:dz:Zw
Uw=fft(Ut);%歸一化振幅函數的傅里葉變換
Uw=Mw.*Uw;%行走h後在色散作用下新孤子脈衝波形的傅里葉變換頻譜
Ut=ifft(Uw);%傅里葉逆變換，得到新的時域脈衝函數
Nt=1i*N^2*(Ut.*conj(Ut));%非線性算子
Mt=exp(Nt*dz);%孤子行走2h後色散產生的影響因子->對稱分步傅里葉變換法，減少誤差
Ut=Mt.*Ut;%新的在非線性作用下的脈衝時域圖
Uw=fft(Ut);%新孤子時域圖函數的傅里葉變換
Uw=Mw.*Uw;%行走h後在色散作用下新孤子脈衝波形的傅里葉變換頻譜
Ut=ifft(Uw);%傅里葉逆變換，得到dz=2h步長下的更新的時域脈衝函數
I=Ut.*conj(Ut);%時域脈衝光強
U(nn,:)=I;
nn=nn+1;
end
mesh(t,zzz,U)%畫三維圖
xlabel('Time')
ylabel('distance')
zlabel('light intensity')
title('the influnce of GVD and SPM')
我們對GVD與SPM對脈衝的整形作用進行討論(假設代碼是對的)：
(1)N=1，B2=-20，mm=0.1。此時GVD(反常色散)與SPM作用相互抵消，脈衝在傳播過程中幾乎不發生變形，如下圖所示：
(2)mm=0.02，此時GVD與SPM作用很小，無論N爲多少(即無論哪個效應作用大),脈衝形狀也基本不變。其圖像仍如上圖所示
(3)mm=0.8,N=8,B2=20時，此時爲正常色散且GVD效果遠大於SPM效果，將會發生脈衝展寬，且N越大，脈衝展寬越明顯。其圖像如下圖所示：
(3)mm=0.8,N=4,B2=-20時，此時爲反常色散且GVD效果遠大於SPM效果，將會開始也發生脈衝展寬，但是當mm=z/Ld>0.3後將發生脈衝壓縮;再之後，當z/Ld>0.5後，脈衝將發生分裂，分裂成2個振幅相等的脈衝，之後2個脈衝繼續發生分裂，最後形成脈衝間隔近似相等，振幅不等的幾個脈衝。脈衝個數隨N與mm的增大而增大。如下圖所示：
(4)mm=0.5,B2=-20,N=3，脈衝將發生壓縮，同時綜合(3)和(4)，如果GVD效果較大，且GVD與SPM作用效果差的不是很大，則不會導致脈衝分裂發生。如下圖所示：
上述結果可能有誤。。。
以上討論的是在普通光纖上的脈衝傳播情況，如果是摻雜增益光纖，還需考慮隨光強變化的增益係數，我們將得到由U(z,t)與增益係數g(z,t)兩個相互關聯的函數構成的偏微分方程組。這裏我們不做討論。
基於非線性偏振旋轉效應的被動鎖模：
最傳統的結構如下圖所示：
我們使用980nm的半導體激光器作爲泵浦源，使用WDM(波分複用器)將泵浦光與光纖產生的1.55um光進行耦合。中間加入一定長度的摻鉺增益光纖，使用9：1的輸出耦合器OC，鎖模調製元件由一個起偏器，兩個偏振控制器(PC1,PC2)和一個光隔離器(ISO)構成。
其基本原理是：光脈衝進過偏振片變成線偏振光，線偏振光經偏振控制器變成橢圓偏振光，橢圓偏振光可以分解爲兩個振幅不同的左旋與右旋光(任何偏振光都可以分解爲兩個正交偏振光的線性疊加)。這兩個圓偏振光收到SPM與XPM的作用，不同光強處將產生不同位移，疊加後偏振偏振狀態(偏振旋轉)發生改變，但偏振片再次通過時，會由於不同脈衝強度處偏振狀態不同而產生一種自幅度調製作用的等效可飽和吸收體效應，從而實現脈衝的窄化。
調製元件分析：
我可以使用斯托克斯矢量與偏振器件的Muller矩陣(或使用瓊斯矢量與矩陣)對其由偏振片，偏振控制器和雙折射光纖構成的簡化系統進行分析，分別得到其線性與非線性效應。具體分析計算略，僅給出如下結論：
1.要使環形腔發生多縱模運轉，則起偏器方向應平行與光纖主偏振態方向且要調整偏振控制器使得入射光場平行與光纖主偏振態方向。
2.當改變入射到光纖主偏振態方向上的兩個偏振光的相位差，可以使縱模可調諧。
3.要使激光能夠輸出穩定的鎖模脈衝,要使偏振控制器透射率接近1。
腔體參數的影響：
使用時域動力學鎖模方程更能分析腔體參數對鎖模脈衝的影響，這裏同樣不給出理論(不會。。。)，僅給出部分結論：
1當自相位調製作用一定時：
1)位於反常色散區的脈衝寬度要小於正常色散區的脈衝，且更爲穩定。
2)正色散作用越大，脈寬越大，脈衝啁啾也越大；反常色散越大，脈衝啁啾趨於0。
2當自幅度調製作用一定時：
1)在正常色散區，自相位調製作用γ對脈寬與脈衝啁啾影響較大，γ越大，脈寬與脈衝啁啾越大；在反常色散區，γ對脈寬與脈衝啁啾影響不大。
2)當γ較小時，在反常色散區，脈衝無法穩定，需要增大反常色散來保持脈衝穩定與減少脈衝頻率啁啾。
被動鎖模自啓動分析：
我們希望激光器能夠不受外界調製即可輸出穩定的鎖模脈衝，我們使用增益光纖的廣義路徑平均非線性薛定諤方程進行分析(分佈增益與分佈損耗模型)：
其中g爲增益光纖的路徑平均增益係數,我們將摻雜光纖利用路徑平均等效爲均勻增寬介質，則有g=g0/(1+p/pm)，其中g0爲小信號增益，p爲脈衝一個週期內的平均光功率，pm爲飽和光功率；a=0.3dB/km爲光纖損耗，Bf=20nm爲增益帶寬,D=-B2/2=-10ps^2/km，γ3=0.39,γ5=0.12爲飽和吸收體效應的三階與五階非線性係數,γ=2.6。仍使用SSTF算法進行數值仿真。並對不同增益係數下的自啓振狀態進行討論：
1.當g0<=a時，激光器無法起振，無激光輸出。
2.當g0>a且較小時，只能產生連續波激光輸出，無法產生鎖模脈衝。
3.當g0較大時，激光先輸出連續波，稍後逐步演化成穩定鎖模脈衝。
4.當g0很大時，激光將直接緩慢生成鎖模脈衝並不斷壓縮脈寬並穩定。
綜上，我們知道要想生成穩定鎖模脈衝，需要有較大的小信號增益係數與較大功率的泵浦光。
後續工作：
1.進入實驗室，熟悉相關操作與儀器的使用。進行簡單的光纖激光器的搭建工作。
2.搭建基於非線性偏振旋轉效應的被動鎖模光路，並改變參數進行實驗，驗證理論分析，並嘗試發現新的研究現象。
3.深入學習非線性光纖學習，加深對相應概念與SSFT算法的理解與應用。
4.學習高次諧波鎖模脈衝的機制，並進行仿真與實驗驗證。發現其不足與缺陷。
5.查閱更多資料，尋找更多改進結構以產生10GHz重複頻率的脈衝。
6.理論分析，參考，爭取構造新的結構，建模驗證分析。
7.搭建光路結構，實驗驗證，發現新的現象，併力求能夠進行解釋。
8.學習總結，實驗彙總。
9.論文撰寫，修改，投稿->SCI/IEEE等。
參考文獻：
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[5]原榮，邱琪著，光子學與光電子學.機械工業出版社，2014.
[6]吳湘淇著，信號與系統.電子工業出版社，2009.
[7]趙德雙.高性能鎖模光纖激光器研究[D].電子科技大學,2005.
[8]陶莎.高重複頻率被動鎖模光纖激光器的研究[D].中國科學技術大學,2016.
P.S：這篇文章算是幾乎奠定了我向光電子方向發展的趨勢，計劃今後從器件與光路結構兩個方面學習相應知識，同時滲透學習電子技術，涉及通信,信號，高頻，電磁波微波，FPGA,單片機控制等方面。有空接觸一下物理材料方面的知識，諸如半導體物理，固體物理學等，還有相應的元器件方面的製造，製造，封裝，測試技術等等。。。
耽誤了一年的時間去水比賽，現在終於要回歸了！
加油！！！