使用KD树进行最近邻查找的例子
例1：
查询点（2.1,3.1）
星号表示要查询的点（2.1,3.1）。通过二叉搜索，顺着搜索路径很快就能找到最邻近的近似点，也就是叶子节点（2,3）。而找到的叶子节点并不一定就是最邻近的，最邻近肯定距离查询点更近，应该位于以查询点为圆心且通过叶子节点的圆域内。为了找到真正的最近邻，还需要进行相关的‘回溯'操作。也就是说，算法首先沿搜索路径反向查找是否有距离查询点更近的数据点。
以查询（2.1,3.1）为例：
- 二叉树搜索：先从（7,2）点开始进行二叉查找，然后到达（5,4），最后到达（2,3），此时搜索路径中的节点为<(7,2)，(5,4)，(2,3)>，首先以（2,3）作为当前最近邻点，计算其到查询点（2.1,3.1）的距离为0.1414，
- 回溯查找：在得到（2,3）为查询点的最近点之后，回溯到其父节点（5,4），并判断在该父节点的其他子节点空间中是否有距离查询点更近的数据点。以（2.1,3.1）为圆心，以0.1414为半径画圆，如下图所示。发现该圆并不和超平面y = 4交割，因此不用进入（5,4）节点右子空间中(图中灰色区域)去搜索；
- 最后，再回溯到（7,2），以（2.1,3.1）为圆心，以0.1414为半径的圆更不会与x = 7超平面交割，因此不用进入（7,2）右子空间进行查找。至此，搜索路径中的节点已经全部回溯完，结束整个搜索，返回最近邻点（2,3），最近距离为0.1414。
例2：
查询点（2，4.5）
一个复杂点了例子如查找点为（2，4.5），具体步骤依次如下：
- 同样先进行二叉查找，先从（7,2）查找到（5,4）节点，在进行查找时是由y = 4为分割超平面的，由于查找点为y值为4.5，因此进入右子空间查找到（4,7），形成搜索路径<(7,2)，(5,4)，(4,7)>，但（4,7）与目标查找点的距离为3.202，而（5,4）与查找点之间的距离为3.041，所以（5,4）为查询点的最近点；
- 以（2，4.5）为圆心，以3.041为半径作圆，如下图所示。可见该圆和y = 4超平面交割，所以需要进入（5,4）左子空间进行查找，也就是将（2,3）节点加入搜索路径中得<(7,2)，(2,3)>；于是接着搜索至（2,3）叶子节点，（2,3）距离（2,4.5）比（5,4）要近，所以最近邻点更新为（2，3），最近距离更新为1.5；
- 回溯查找至（5,4），直到最后回溯到根结点（7,2）的时候，以（2,4.5）为圆心1.5为半径作圆，并不和x = 7分割超平面交割，如下图所示。至此，搜索路径回溯完，返回最近邻点（2,3），最近距离1.5。
上述两次实例表明，当查询点的邻域与分割超平面两侧空间交割时，需要查找另一侧子空间，导致检索过程复杂，效率下降。
详细解读：
k-d tree算法原理及实现
k-d tree即k-dimensional tree，常用来作空间划分及近邻搜索，是二叉空间划分树的一个特例。通常，对于维度为(k)，数据点数为(N)的数据集，k-d tree适用于(N\gg2^k)的情形。
1）k-d tree算法原理
k-d tree是每个节点均为k维数值点的二叉树，其上的每个节点代表一个超平面，该超平面垂直于当前划分维度的座标轴，并在该维度上将空间划分为两部分，一部分在其左子树，另一部分在其右子树。即若当前节点的划分维度为d，其左子树上所有点在d维的座标值均小于当前值，右子树上所有点在d维的座标值均大于等于当前值，本定义对其任意子节点均成立。
1.1）树的构建
一个平衡的k-d tree，其所有叶子节点到根节点的距离近似相等。但一个平衡的k-d tree对最近邻搜索、空间搜索等应用场景并非是最优的。
常规的k-d tree的构建过程为：循环依序取数据点的各维度来作为切分维度，取数据点在该维度的中值作为切分超平面，将中值左侧的数据点挂在其左子树，将中值右侧的数据点挂在其右子树。递归处理其子树，直至所有数据点挂载完毕。
a）切分维度选择优化
构建开始前，对比数据点在各维度的分布情况，数据点在某一维度座标值的方差越大分布越分散，方差越小分布越集中。从方差大的维度开始切分可以取得很好的切分效果及平衡性。
b）中值选择优化
第一种，算法开始前，对原始数据点在所有维度进行一次排序，存储下来，然后在后续的中值选择中，无须每次都对其子集进行排序，提升了性能。
第二种，从原始数据点中随机选择固定数目的点，然后对其进行排序，每次从这些样本点中取中值，来作为分割超平面。该方式在实践中被证明可以取得很好性能及很好的平衡性。
本文采用常规的构建方式，以二维平面点((x,y))的集合(2,3)，(5,4)，(9,6)，(4,7)，(8,1)，(7,2)为例结合下图来说明k-d tree的构建过程。
**a）**构建根节点时，此时的切分维度为(x)，如上点集合在(x)维从小到大排序为(2,3)，(4,7)，(5,4)，(7,2)，(8,1)，(9,6)；其中值为(7,2)。（注：2,4,5,7,8,9在数学中的中值为(5 + 7)/2=6，但因该算法的中值需在点集合之内，所以本文中值计算用的是len(points)//2=3, points[3]=(7,2)）
b）(2,3)，(4,7)，(5,4)挂在(7,2)节点的左子树，(8,1)，(9,6)挂在(7,2)节点的右子树。
**c）**构建(7,2)节点的左子树时，点集合(2,3)，(4,7)，(5,4)此时的切分维度为(y)，中值为(5,4)作为分割平面，(2,3)挂在其左子树，(4,7)挂在其右子树。
**d）**构建(7,2)节点的右子树时，点集合(8,1)，(9,6)此时的切分维度也为(y)，中值为(9,6)作为分割平面，(8,1)挂在其左子树。至此k-d tree构建完成。
上述的构建过程结合下图可以看出，构建一个k-d tree即是将一个二维平面逐步划分的过程。
如下为k-d tree的构建代码：
def kd_tree(points, depth):
if 0 == len(points):
return None
cutting_dim = depth % len(points[0])
medium_index = len(points) // 2
points.sort(key=itemgetter(cutting_dim))
node = Node(points[medium_index])
node.left = kd_tree(points[:medium_index], depth + 1)
node.right = kd_tree(points[medium_index + 1:], depth + 1)
return node
1.2）寻找d维最小座标值点
a）若当前节点的切分维度是d
因其右子树节点均大于等于当前节点在d维的座标值，所以可以忽略其右子树，仅在其左子树进行搜索。若无左子树，当前节点即是最小座标值节点。
b）若当前节点的切分维度不是d
需在其左子树与右子树分别进行递归搜索。
如下为寻找d维最小座标值点代码：
def findmin(n, depth, cutting_dim, min):
if min is None:
min = n.location
if n is None:
return min
current_cutting_dim = depth % len(min)
if n.location[cutting_dim] < min[cutting_dim]:
min = n.location
if cutting_dim == current_cutting_dim:
return findmin(n.left, depth + 1, cutting_dim, min)
else:
leftmin = findmin(n.left, depth + 1, cutting_dim, min)
rightmin = findmin(n.right, depth + 1, cutting_dim, min)
if leftmin[cutting_dim] > rightmin[cutting_dim]:
return rightmin
else:
return leftmin
1.3）新增节点
从根节点出发，若待插入节点在当前节点切分维度的座标值小于当前节点在该维度的座标值时，在其左子树插入；若大于等于当前节点在该维度的座标值时，在其右子树插入。递归遍历，直至叶子节点。
如下为新增节点代码：
def insert(n, point, depth):
if n is None:
return Node(point)
cutting_dim = depth % len(point)
if point[cutting_dim] < n.location[cutting_dim]:
if n.left is None:
n.left = Node(point)
else:
insert(n.left, point, depth + 1)
else:
if n.right is None:
n.right = Node(point)
else:
insert(n.right, point, depth + 1)
多次新增节点可能引起树的不平衡。不平衡性超过某一阈值时，需进行再平衡。
1.4）删除节点
最简单的方法是将待删节点的所有子节点组成一个新的集合，然后对其进行重新构建。将构建好的子树挂载到被删节点即可。此方法性能不佳，下面考虑优化后的算法。
假设待删节点T的切分维度为x，下面根据待删节点的几类不同情形进行考虑。
a）无子树
本身为叶子节点，直接删除。
b）有右子树
在T.right寻找x切分维度最小的节点p，然后替换被删节点T；递归处理删除节点p。
c）无右子树有左子树
在T.left寻找x切分维度最小的节点p，即p=findmin(T.left, cutting-dim=x)，然后用节点p替换被删节点T；将原T.left作为p.right；递归处理删除节点p。
（之所以未采用findmax(T.left, cutting-dim=x)节点来替换被删节点，是由于原被删节点的左子树节点存在x维度最大值相等的情形，这样就破坏了左子树在x分割维度的座标需小于其根节点的定义）
如下为删除节点代码：
def delete(n, point, depth):
cutting_dim = depth % len(point)
if n.location == point:
if n.right is not None:
n.location = findmin(n.right, depth + 1, cutting_dim, None)
delete(n.right, n.location, depth + 1)
elif n.left is not None:
n.location = findmin(n.left, depth + 1)
delete(n.left, n.location, depth + 1)
n.right = n.left
n.left = None
else:
n = None
else:
if point[cutting_dim] < n.location[cutting_dim]:
delete(n.left, point, depth + 1)
else:
delete(n.right, point, depth + 1)
2）最近邻搜索
给定点p，查询数据集中与其距离最近点的过程即为最近邻搜索。
如在上文构建好的k-d tree上搜索(3,5)的最近邻时，本文结合如下左右两图对二维空间的最近邻搜索过程作分析。
**a）**首先从根节点(7,2)出发，将当前最近邻设为(7,2)，对该k-d tree作深度优先遍历。以(3,5)为圆心，其到(7,2)的距离为半径画圆（多维空间为超球面），可以看出(8,1)右侧的区域与该圆不相交，所以(8,1)的右子树全部忽略。
**b）**接着走到(7,2)左子树根节点(5,4)，与原最近邻对比距离后，更新当前最近邻为(5,4)。以(3,5)为圆心，其到(5,4)的距离为半径画圆，发现(7,2)右侧的区域与该圆不相交，忽略该侧所有节点，这样(7,2)的整个右子树被标记为已忽略。
**c）**遍历完(5,4)的左右叶子节点，发现与当前最优距离相等，不更新最近邻。所以(3,5)的最近邻为(5,4)。
如下为最近邻搜索代码：
3）复杂度分析
操作 平均复杂度 最坏复杂度
新增节点 O(logn) O(n)
删除节点 O(logn) O(n)
最近邻搜索 O(logn) O(n)
4）scikit-learn使用
scikit-learn是一个实用的机器学习类库，其有KDTree的实现。如下例子为直观展示，仅构建了一个二维空间的k-d tree，然后对其作k近邻搜索及指定半径的范围搜索。多维空间的检索，调用方式与此例相差无多。
#!/usr/bin/python
# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle
from sklearn.neighbors import KDTree
np.random.seed(0)
points = np.random.random((100, 2))
tree = KDTree(points)
point = points[0]
# kNN
dists, indices = tree.query([point], k=3)
print(dists, indices)
# query radius
indices = tree.query_radius([point], r=0.2)
print(indices)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, aspect='equal')
ax.add_patch(Circle(point, 0.2, color='r', fill=False))
X, Y = [p[0] for p in points], [p[1] for p in points]
plt.scatter(X, Y)
plt.scatter([point[0]], [point[1]], c='r')
plt.show()