【灰色系统】{1} —— 灰色系统的基本概念

灰色系统的基本概念

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灰数

灰数是灰色系统的基本单元，把只知道大概范围而不知道确切范围的数称为灰数，灰数实际上指在某一区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号“”表示灰数，灰数有以下几类

1. 下界灰数
   
2. 上界灰数
   
3. 区间灰数
   
4. 连续灰数与离散灰数
   
5. 黑数与白数
   

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灰数计算

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灰微分方程

设有一组原始数列 $X^{(0)},\,X^{(1)}$ 为 $X^{(0)}$ 的一次累加生成数，记$X^{(0)} = \{X^{(0)}(1),\,X^{(0)}(2),\,...,\,X^{(0)}(n)\}$$X^{(1)} = \{X^{(1)}(1),\,X^{(1)}(2),\,...,\,X^{(1)}(n)\}$

则 $X^{(1)}$ 上的一阶常系数灰微分方程为：$X^{(0)}(k)-aZ^{(1)}(k) = b\,(∀\,k∈\{1,2,...,n\})$其中$Z^{(1)}(k) = \frac{1}{2}(X^{(1)}(k)+X^{(1)}(k-1))$$(a,b∈R,\,R为实轴)$

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影子方程或白化方程

因为灰微分方程$X^{(0)}(k)-aZ^{(1)}(k)=b$是仿照微分方程 $\frac{dX}{dt}+aX^{(1)}=b$ 建立的，故称后者为前者的影子方程或白化方程。上式中 $X^{(0)}(k)$ 为灰导数；$Z^{(1)}(k)$ 为 $X^{(0)}(k)$ 的白化背景值。

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背景值

在灰色系统理论中，称 $X(t+△t)、X(t)、X(t-△t)$ 为导数 $\frac{dX}{dt}$ 在时区 $[t-△t,\,t+△t]$ 的背景值，它表示 $\frac{dX}{dt}$ 是与这些值有关的极限值。

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Reference：http://gb.oversea.cnki.net/KCMS/detail/detail.aspx?filename=2008029195.nh&dbcode=CMFD&dbname=CMFDREF