【灰色系統】{1} —— 灰色系統的基本概念

灰色系統的基本概念

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灰數

灰數是灰色系統的基本單元，把只知道大概範圍而不知道確切範圍的數稱爲灰數，灰數實際上指在某一區間或某個一般的數集內取值的不確定數，通常用記號“”表示灰數，灰數有以下幾類

1. 下界灰數
   
2. 上界灰數
   
3. 區間灰數
   
4. 連續灰數與離散灰數
   
5. 黑數與白數
   

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灰數計算

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灰微分方程

設有一組原始數列 $X^{(0)},\,X^{(1)}$ 爲 $X^{(0)}$ 的一次累加生成數，記$X^{(0)} = \{X^{(0)}(1),\,X^{(0)}(2),\,...,\,X^{(0)}(n)\}$$X^{(1)} = \{X^{(1)}(1),\,X^{(1)}(2),\,...,\,X^{(1)}(n)\}$

則 $X^{(1)}$ 上的一階常係數灰微分方程爲：$X^{(0)}(k)-aZ^{(1)}(k) = b\,(∀\,k∈\{1,2,...,n\})$其中$Z^{(1)}(k) = \frac{1}{2}(X^{(1)}(k)+X^{(1)}(k-1))$$(a,b∈R,\,R爲實軸)$

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影子方程或白化方程

因爲灰微分方程$X^{(0)}(k)-aZ^{(1)}(k)=b$是仿照微分方程 $\frac{dX}{dt}+aX^{(1)}=b$ 建立的，故稱後者爲前者的影子方程或白化方程。上式中 $X^{(0)}(k)$ 爲灰導數；$Z^{(1)}(k)$ 爲 $X^{(0)}(k)$ 的白化背景值。

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背景值

在灰色系統理論中，稱 $X(t+△t)、X(t)、X(t-△t)$ 爲導數 $\frac{dX}{dt}$ 在時區 $[t-△t,\,t+△t]$ 的背景值，它表示 $\frac{dX}{dt}$ 是與這些值有關的極限值。

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Reference：http://gb.oversea.cnki.net/KCMS/detail/detail.aspx?filename=2008029195.nh&dbcode=CMFD&dbname=CMFDREF