什麼是拓撲排序及其Python實現

參考視頻：數據結構與算法基礎–第11周09–6.6圖的應用9–6.6.3拓撲排序

一，有向無環圖

1.1 什麼是有向無環圖

有向無環圖：無環的有向圖，簡稱：DAG圖（Directed Acycline Graph）

1.2 有向無環圖的應用

• 有向無環圖常用來描述一個工程或系統的進行過程。（通常把計劃、施工、生產、程序流程等當成是一個工程）
• 一個工程可以分爲若干個子工程，只要完成了這些子工程（活動），就可以導致整個工程的完成。

1.3 如何表示子工程（活動）

AOV 網（拓撲排序）

• 用一個有向圖表示一個工程的各子工程及其相互制約的關係，其中以頂點表示活動，弧表示活動之間的優先制約關係，稱這種有向圖爲頂點表示活動的網，簡稱 AOV網（Activity On Vertex network）。

AOE 網（關鍵路徑）

• 用一個有向圖表示一個工程的各子工程及其相互制約的關係，以弧（邊）表示活動，以頂點表示活動的開始或結束事件，稱這種有向圖爲邊表示活動的網，簡稱爲 AOE網（Activity On Edge）。

二，拓撲排序

拓撲排序引例：排課表

• 使用定點來表示課程
• 可以直觀的表現出該課程有哪些先修課程
  

2.1 AOV 網的特點

• 若從 i 到 j 有一條有向路徑，則 i 是 j 的前驅；j 是 i 的後繼。
• 若 < i, j > 是網中有向邊，則 i 是 j 的直接前驅；j 是 i 的直接後繼。
• AOV 網中不允許有迴路，因爲如果有迴路存在，則表明某項活動以自己爲先決條件，顯然這是不合理的。

2.2 拓撲排序

2.2.1 定義與方法

定義

• 在 AOV網沒有迴路的前提下，我們將全部活動排列成一個線性序列，使得若 AOV網中有弧 < i, j > 存在，則在這個序列中，i 一定排在 j 的前邊，具有這種性質的線性序列稱爲拓撲有序序列，相應的拓撲有序排序的算法稱爲拓撲排序。

拓撲排序的方法

1. 在有向圖中選一個沒有前驅的頂點；
   
2. 從圖中刪除該頂點和所有以它爲尾的弧 ；
   
3. 重複上述兩步，直至全部頂點均已輸出；或者當圖中不存在無前驅的定點爲止。

因爲每次選擇無前驅頂點時都是隨機的，所以可能會出現排序結果不同的情況，如下所示。

2.2.2 檢測 AOV網中是否存在迴路

檢測AOV網中是否存在環的方法：

• 對有向圖構造其頂點的拓撲有序序列，若網中所有的頂點都在它的拓撲有序序列中，則該 AOV網必定不存在環。
• 例如下圖，c₃、c₆、c₈ 互爲前驅和後繼，不可能在拓撲排序中被選中和刪除，最終會被留下。
  

三，Python實現拓撲排序

參考：菜鳥教程 - Python 拓撲排序

from collections import defaultdict 
 
class Graph: 
    def __init__(self,vertices): 
        self.graph = defaultdict(list) 
        self.V = vertices
  
    def addEdge(self,u,v): 
        self.graph[u].append(v) 
  
    def topologicalSortUtil(self,v,visited,stack): 
  
        visited[v] = True
  
        for i in self.graph[v]: 
            if visited[i] == False: 
                self.topologicalSortUtil(i,visited,stack) 
  
        stack.insert(0,v) 
  
    def topologicalSort(self): 
        visited = [False]*self.V 
        stack =[] 
  
        for i in range(self.V): 
            if visited[i] == False: 
                self.topologicalSortUtil(i,visited,stack) 
  
        print (stack) 
  
g= Graph(6) 
g.addEdge(5, 2); 
g.addEdge(5, 0); 
g.addEdge(4, 0); 
g.addEdge(4, 1); 
g.addEdge(2, 3); 
g.addEdge(3, 1); 
  
print ("拓撲排序結果：")
g.topologicalSort()
>>>拓撲排序結果：[5, 4, 2, 3, 1, 0]