算法其實很簡單—動態規劃

目錄

1. 動態規劃算法介紹

2. 動態規劃的最佳實踐—揹包問題

2.1 思路求解

2.2 圖爲分析後的結果圖

2.3 代碼實現

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1. 動態規劃算法介紹

1. 動態規劃（Dynamic Programming）算法的核心思想是：將大問題劃分爲小問題進行解決，從而一步步獲取最優解的算法
2. 動態規劃算法與分治算法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。
3. 與分治不同的是，適用於動態規劃求解的問題，經分解得到的子問題往往不是獨立的（即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的基礎上，進行進一步求解）。分治算法可參考上篇：算法其實很簡單—分治算法
4. 動態規劃可以通過填表的方式來逐步推進，得到最優解。

2. 動態規劃的最佳實踐—揹包問題

 

2.1 思路求解

1. 揹包問題主要是指一一個給定容量的揹包、若干具有一定價值和重量的物品，如何選擇物品放入揹包使物品的價值最大。其中又分01揹包和完全揹包(完全揹包指的是:每種物品都有無限件可用)
2. 這裏的問題屬於01揹包，即每個物品最多放-一個。 而無限揹包可以轉化爲01揹包。
3. 算法的主要思想，利用動態規劃來解決。每次遍歷到的第i個物品，根據w[i]和v[i]來確定是否需要將該物品放入揹包中。即對於給定的n個物品，設v[i]、 w[i]分 別爲第i個物品的價值和重量，C爲揹包的容量。再令v[i][i]表示在前i個物品中能夠裝入容量爲j的揹包中的最大價值。則我們有下面的結果:

1） v[i][0]=v[0][ij]=0;表示填入表的第一行和第一列全部爲0

2）當w[i]> j時: v[i][j]=v[i-1][j]；表示噹噹前商品的重量即w[i]大於當前揹包的容量的時候，直接使用上一個單元格的裝入策略

3）當j>=w[i]時: v[i][i]=max{v[i-1][j],v[i-1][j-w[i]]+v[i]}；表示當揹包的容量大於等於當前物品的容量時，裝入的方式爲左邊單元格裝入策略，與當前物品和揹包容量減去當前物品容量的裝入策略的最大值。

j-w[i]表示裝入w[i]容量後剩餘空間，,v[i-1][j-w[i]]表示剩餘空間可以裝入的最大值

2.2 圖爲分析後的結果圖

 

2.3 代碼實現

/**
 * @author 浪子傑
 * @version 1.0
 * @date 2020/6/9
 */
public class KnapsackDemo {

    public static void main(String[] args) {
        // 物品的重量
        int[] w = {1, 4, 3};
        // 物品的價值
        int[] val = {1500, 3000, 2000};
        // 揹包的容量
        int m = 4;
        // 物品的個數
        int n = val.length;
        // 創建二位數組，即如圖的表格
        int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
        int[][] path = new int[n + 1][m + 1];

        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
                // 當橫座標和縱座標都爲0時，此時的容量爲0
                if (i == 0 || j == 0) {
                    v[i][j] = 0;
                } else {
                    // 如果當前的重量小於物品的重量時，將上一行的值即最大值給當前
                    if (w[i - 1] > j) {
                        v[i][j] = v[i - 1][j];
                    } else {
                        // v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                        if (v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
                            v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                            path[i][j] = 1;
                        } else {
                            v[i][j] = v[i - 1][j];
                        }
                    }
                }
            }
        }

        // 展示生成的結果
        for (int i = 0; i < v.length; i++) {
            for (int j = 0; j < v[i].length; j++) {
                System.out.print(v[i][j] + "  ");
            }
            System.out.println();
        }

        // 展示生成的結果
//        for (int i = 0; i < path.length; i++) {
//            for (int j = 0; j < path[i].length; j++) {
//                if (path[i][j] == 1) {
//                    System.out.printf("第%d個商品放入揹包", i);
//                System.out.println();
//                }
//            }
//        }
        // 展示生成的結果
        int i = path.length - 1;
        int j = path[0].length - 1;
        while (i > 0 && j > 0) {
            if (path[i][j] == 1) {
                System.out.printf("第%d個商品放入揹包\n", i);
                j = j - w[i - 1];
            }
            i--;
        }
    }
}