目錄
1. 克魯斯卡爾算法介紹
1)克魯斯卡爾(Kruskal)算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的算法。（最小生成樹也可以通過普里姆算法生成，具體可參考算法其實很簡單—普利姆算法）
2)基本思想:按照權值從小到大的順序選擇n-1條邊，並保證這n-1條邊不構成迴路
3)具體做法:首先構造一一個只含n個頂點的森林，然後依權值從小到大從連通網中選擇邊加入到森林中，並使森林中不產生迴路，直至森林變成一棵樹爲止
2. 公交站問題
1)某城市新增7個站點(A,B,C,D,E,F,G)， 現在需要修路把7個站點連通
2)各個站點的距離用邊線表示(權)，比如A-B距離12公里
3) 問:如何修路保證各個站點都能連通，並且總的修建公路總里程最短?
2.1 克魯斯卡爾算法圖解
第1步:將邊<E,F>加入R中。
邊<E,F>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第2步:將邊<C,D>加入R中。
上一步操作之後，邊<C,D>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第3步:將邊<D,E>加入R中。
上一 步操作之後，邊<D,E>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第4步:將邊<B,F>加入R中。
上一步操作之後，邊<C,E>的權值最小，但<C,E>會和已有的邊構成迴路;因此，跳過邊<C,E>。同理，跳過邊<C,F>.將邊<B,F>加入到最小生成樹結果R中。
第5步:將邊<E,G>加入R中。
上一步操作之後，邊<E,G>的權值最小，因此將它加入到最小生成樹結果R中。
第6步:將邊<A,B>加入R中。
上一步操作之後，邊<F,G>的權值最小，但<F,G>會和已有的邊構成迴路;因此，跳過邊<F,G>。同理，跳過邊<B,C>.將邊<A,B>加入到最小生成樹結果R中。
此時，最小生成樹構造完成!它包括的邊依次是: < <E,F> <C,D> <D,E><B,F> < <E,G> <A,B>.
2.2 克魯斯卡爾算法分析
根據前面介紹的克魯斯卡爾算法的基本思想和做法，我們能夠了解到，克魯斯卡爾算法重點需要解決的以下兩個問題:
問題一對圖的所有邊按照權值大小進行排序。
問題二將邊添加到最小生成樹中時，怎麼樣判斷是否形成了迴路。
問題一很好解決，採用排序算法進行排序即可。
問題二，處理方式是:記錄頂點在"最小生成樹"中的終點，頂點的終點是"在最小生成樹中與它連通的最大頂點"。然後每次需要將一條邊添加到最小生存樹時，判斷該邊的兩個頂點的終點是否重合，重合的話則會構成迴路。
2.3 如何判斷是否構成迴路
在將<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成樹R中之後，這幾條邊的頂點就都有了終點:
(01) C的終點是F。
(02) D的終點是F。
(03)E的終點是F。
(04) F的終點是F。
關於終點的說明:
1)就是將所有頂點按照從小到大的順序排列好之後;某個頂點的終點就是"與它連通的最大頂點"。
2)因此，接下來，雖然<C,E>是權值最小的邊。但是C和E的終點都是F，即它們的終點相同，因此，將<C,E>加入最小生成樹的話，會形成迴路。這就是判斷迴路的方式。也就是說，我們加入的邊的兩個頂點不能都指向同一個終點,否則將構成迴路。
3. 代碼實現
package com.example.datastructureandalgorithm.kruska;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;
/**
* @author 浪子傑
* @version 1.0
* @date 2020/6/17
*/
public class KruskaDemo {
public static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//克魯斯卡爾算法的鄰接矩陣
int matrix[][] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
};
Kruska kruska = new Kruska(vertexs, matrix);
kruska.print();
System.out.println(Arrays.toString(kruska.getEdges()));
EData[] eDatas = kruska.getEdges();
Collections.sort(Arrays.asList(eDatas));
// kruska.sortEData(eDatas);
System.out.println(Arrays.toString(eDatas));
kruska.kruska();
}
}
class Kruska {
private int edgeNum;
private char[] vertexs;
private int[][] matrix;
public Kruska(char[] vertexs, int[][] matrix) {
this.vertexs = vertexs;
this.matrix = matrix;
int length = vertexs.length;
for (int i = 0; i < length; i++) {
for (int j = i + 1; j < length; j++) {
if (matrix[i][j] != KruskaDemo.INF) {
edgeNum++;
}
}
}
}
public void print() {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {
System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
/**
* 使用冒泡排序對eDatas進行排序
*
* @param eDatas
*/
public void sortEData(EData[] eDatas) {
for (int i = 0; i < eDatas.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < eDatas.length - i - 1; j++) {
if (eDatas[j + 1].weight < eDatas[j].weight) {
EData temp = eDatas[j];
eDatas[j] = eDatas[j + 1];
eDatas[j + 1] = temp;
}
}
}
}
/**
* 查找ch對應點的下標
*
* @param ch
* @return
*/
public int getPosition(char ch) {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
if (vertexs[i] == ch) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 獲取鄰接矩陣轉爲的EData
*
* @return
*/
public EData[] getEdges() {
int index = 0;
EData[] eDatas = new EData[edgeNum];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {
if (matrix[i][j] != KruskaDemo.INF) {
eDatas[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
}
}
}
return eDatas;
}
/**
* 獲取下標爲i的頂點的終點，用於判斷兩個頂點的重點是否相同
*
* @param ends 記錄各個頂點的重點，動態生成的
* @param i
* @return
*/
public int getEnd(int[] ends, int i) {
while (ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
public void kruska() {
// 表示結果數組的索引
int index = 0;
// 記錄每個頂點的重點
int[] ends = new int[edgeNum];
// 最終返回的結果
EData[] result = new EData[edgeNum];
// 獲取所有邊的集合
EData[] eDatas = getEdges();
// 對eData進行排序
sortEData(eDatas);
for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {
// 獲取開始頂點的位置
int p1 = getPosition(eDatas[i].start);
// 獲取結束頂點的位置
int p2 = getPosition(eDatas[i].end);
// 獲取終點位置
int m = getEnd(ends, p1);
int n = getEnd(ends, p2);
// 當不相同時，說明沒有形成回來
if (m != n) {
ends[m] = n;
result[index++] = eDatas[i];
}
}
for (int i = 0; i < index; i++) {
System.out.println(result[i]);
}
}
}
class EData implements Comparable<EData> {
char start;
char end;
int weight;
public EData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "EData{" +
"<" + start +
", " + end +
"> =" + weight +
'}';
}
@Override
public int compareTo(EData o) {
return this.weight - o.weight;
}
}