算法其實很簡單—普利姆算法

目錄

1. 普里姆算法介紹

2. 修路問題

2.1 題目表述

2.2 最小生成樹

2.3 普利姆算法圖解

3. 代碼實現

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1. 普里姆算法介紹

1. 普利姆(Prim)算法求最小生成樹，也就是在包含n個頂點的連通圖中，找出只有(n-1)條邊包含所有n個頂點的連通子圖，也就是所謂的極小連通子圖
2. 普利姆的算法如下:

1. 設G=(V,E)是連通網， T=(U,D)是最小生成樹，V,U是頂點集合，E,D是邊的集合
2. 若從頂點u開始構造最小生成樹，則從集合V中取出頂點u放入集合U中，標記頂點v的visited[u]=1
3. 若集合U中頂點ui與集合V-U中的頂點vj之間存在邊，則尋找這些邊中權值最小的邊，但不能構成迴路，將頂點vj加入集合U中，將邊(ui,vj) 加入集合D中，標記visited[vj]=1
4.  重複步驟②，直到U與V相等，即所有頂點都被標記爲訪問過，此時D中有n-1條邊

2. 修路問題

2.1 題目表述

 

1. 有勝利鄉有7個村莊(A, B,C,D,E,F,G)，現在需要修路把7個村莊連通
2. 各個村莊的距離用邊線表示(權)，比如A-B距離5公里
3. 問:如何修路保證各個村莊都能連通，並且總的修建公路總里程最短?

思路：儘可能選擇少的路線，並且每條路最小，才能保證總里程數最小。

2.2 最小生成樹

修路問題本質就是就是最小生成樹問題，先介紹一下最小生成樹(Minimum Cost Spanning Tree),簡稱MST。

1. 給定一個帶權的無向連通圖,如何選取一棵生成樹,使樹.上所有邊上權的總和爲最小，這叫最小生成樹
2. N個頂點，一定有N-1條邊
3. 包含全部頂點
4. N-1條邊 都在圖中.
5. 求最小生成樹的算法主要是普里姆算法和克魯斯卡爾算法

2.3 普利姆算法圖解

 

3. 代碼實現

代碼中已有詳細的註釋~~

package com.example.datastructureandalgorithm.prim;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author 浪子傑
 * @version 1.0
 * @date 2020/6/15
 */
public class PrimDemo {

    public static void main(String[] args) {
        // 新建節點名稱
        char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        // 所有節點的長度
        int verxs = data.length;
        // 初始化二位數組，橫座標和縱座標依次對應data節點，weight[i][j]代表i到j的距離
        // 10000代表不可達
        int[][] weight = new int[][]{
                {10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
                {5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
                {7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
                {10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
                {10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
                {10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
                {2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}
        };

        MGraph graph = new MGraph(verxs, data, weight);
        graph.showGraph();
        graph.prim(0);
    }
}


class MGraph {

    /**
     * 表示圖的節點數
     */
    int verxs;

    /**
     * 存放節點的數據，即節點的名稱
     */
    char[] data;

    /**
     * 存放邊之間的權重，即鄰接矩陣
     * 下標表示data名稱對應的下標
     */
    int[][] weight;

    /**
     * 構造函數，初始化
     *
     * @param verxs
     */
    public MGraph(int verxs, char[] data, int[][] weight) {
        this.verxs = verxs;
        this.data = data;
        this.weight = weight;
    }

    public void showGraph() {
        for (int[] ints : this.weight) {
            System.out.println(Arrays.toString(ints));
        }
    }

    public void prim(int v) {
        // 創建一個被訪問記錄表，1表示已訪問，0表示未訪問
        int[] visited = new int[verxs];
        // 表示當前節點已訪問
        visited[v] = 1;
        // 中間變量，記錄二維數組位置
        int h1 = -1;
        // 中間變量，記錄二維數組位置
        int h2 = -1;
        // 默認權重
        int minWeight = 10000;
        // 從1開始循環所有的數據
        for (int k = 1; k < verxs; k++) {
            // 此層for循環表示，已訪問節點
            for (int i = 0; i < verxs; i++) {
                // 此層for循環表示未訪問節點
                for (int j = 0; j < verxs; j++) {
                    // visited[i] == 1表示已訪問的節點
                    // visited[j] == 0表示未訪問的節點
                    // 如果已訪問節點到未訪問節點的權重小於minWeight，則替換minWeight
                    // 並記錄對應已訪問節點和未訪問節點的位置
                    if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && minWeight > weight[i][j]) {
                        minWeight = weight[i][j];
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }
            // 輸出找到節點以及對應權值
            System.out.println("邊《" + data[h1] + "," + data[h2] + "》權值：" + minWeight);
            // 表示之前未訪問節點已訪問
            visited[h2] = 1;
            // 重置minWeight
            minWeight = 10000;
        }
    }
}