Educational Codeforces Round 89 (A-D)

Educational Codeforces Round 89 (A-D)

比賽沒打，來補題辣。

A. Shovels and Swords

思路：數學，高中線性規劃搞一下，由於$a,b$對稱性，可以默認$a\leq b$，然後分兩種情況搞一下就行了。

$ans=\begin{cases}\dfrac{a+b}{3},b\leq2a\\a\ \ \ \ \ \ \ \ ,otherwise\end{cases}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int main(){
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		if(a>b) swap(a,b); 
		if(b<=2*a) cout<<(a+b)/3<<endl;
		else cout<<a<<endl;
	} 
	return 0;
}

B. Shuffle

思路：簡單貪心，找到一個含$x$的區間，然後不斷更新區間長度即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int main(){
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		int n,x,m;
		cin>>n>>x>>m;
		int L=0,R=0,f=0;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int l,r;
			cin>>l>>r;
			if((x>=l&&x<=r)&&!f){
				 L=l,R=r,f=1;
				 continue;	
			}
			if(f){
				if(l>R||r<L) continue;
				else L=min(L,l),R=max(R,r);
			}			
		}
		cout<<R-L+1<<endl;
	} 
	return 0;
}

C. Palindromic Paths

思路：貪心，因爲是迴文串，所以走$k$步的點要與走$n+m-2-k$步的點相同，

簡單證明一下：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

比如走兩步的點有$(1,3),(2,2),(3,1)$，走$n+m-2-2=6$步的點有：

$(1,7),(2,6),(3,5)$.

顯然可以從$(3,1)走到(3,5).$所以$num[3][1]=num[3][5]$. (1)

同理：$(2,2)可以走到(2,6),(3,5) \rightarrow num[2][2]=num[2][6]=num[3][5]$. (2)

$(1,3)可以走到(1,7),(2,6),(3,5)\\ \Rightarrow num[1][3]=num[1][7]=num[2][6]=num[3][5] \quad(3)$

聯立$(1),(2),(3)$可以知道所有數要相等。

然後每步貪心判斷一下選0還是1即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=65;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int a[N][2];
int main(){
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		int n,m;
		cin>>n>>m;
		mst(a);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1,x;j<=m;j++){
				 cin>>x;
				 a[i+j-2][x]++;
			}
		int ans=0;
		for(int i=0,j=n+m-2;i<j;i++,j--)
			ans+=min(a[i][0]+a[j][0],a[i][1]+a[j][1]);
		printf("%d\n",ans);
	} 
	return 0;
}

D. Two Divisors

思路：數論知識，

若兩質數$(p,q)=1\rightarrow(p^{k_1},q^{k_2})\\=(p^{k_1}+q^{k_2},p^{k_1})\\=(p^{k_1}+q^{k_2},q^{k_2})\\=(p^{k_1}+q^{k_2},p^{k_1}\times q^{k_2})=1,(k1,k2爲正整數)$.

若數$x$只有一個質因子，說明它的因數都是$p$的倍數，即gcd最大爲$p^k>1$。
所以對數$x$進行質因數分解：得到$p_1^{k_1}\times\dots p_m^{k_m}=x$.

$(p_1^{k_1}\dots p_{m-1}^{k_{m-1}}+p_m^{k_m},p_m^{k_m})=1$

這裏取$p_m$是爲了加速質因數分解。

所以進行素數篩預處理一下，然後判斷因子是否爲1即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+10,M=1e7+5;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
inline void read(int &x){ 
	x=0;int w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())
		x=(x<<3)+(x<<1)+(ch&15);
	x*=w; 
}
int p[M];
PII ans[N];
void fun(){
	int n=1e7;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		 if(!p[i])
			for(int j=i;j<=n;j+=i) p[j]=i;
}
int main(){
	int n;
	fun();
	read(n);
	for(int i=1,x;i<=n;i++){
		 read(x);
		 int a=p[x],y=1;
		 while(x%a==0){
		 	 x/=a,y*=a;
		 }
		 if(x==1) x=y=-1;
		 ans[i]={x,y};
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i].fi);
	puts("");
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",ans[i].se);
	return 0;
}

待補$\dots\dots$