Matlab數值微分與數值積分

1. 數值微分

• 1.1 數值差分與差商
  任意函數f(x)在x點的導數是通過極限定義的：
  
  如果去掉上述等式右端的h→0的極限過程，並引進記號就形成了差分方程，以下分別是在x點處以h（h>0）爲步長的向前差分、向後差分和中心差分。
  
  當步長h充分小時，稱△f(x)/h、▽f(x)/h及 δf(x)/h分別爲函數在x點處以h（h>0）爲步長的向前差商、向後差商和中心差商。

• 1.2 數值微分的實現
  有兩種方式計算任意函數f(x)在給定點x的數值導數：
  ① 用多項式或樣條函數g(x)對f(x)進行逼近（插值或擬合），然後用逼近函數g(x)在點x處的導數作爲f(x)在點x處的導數；
  ② 用f(x)在點x處的某種差商作爲其導數。

  在MATLAB中，沒有直接提供求數值導數的函數，只有計算向前差分的函數diff，其調用格式爲：
  ① DX=diff(X)： 計算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1，2，…，n-1。
  ② DX=diff(X,n)： 計算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。
  ③ DX=diff(A,n,dim)： 計算矩陣A的n階差分，dim=1時（默認狀態），按列計算差分；dim=2，按行計算差分。

例: 設x由[0，2π]間均勻分佈的6個點組成，求sinx的1~3階差分。

例：用不同的方法求下列函數f(x)的數值導數，並在同一個座標系中做出f '(x)的圖像。

2. 數值積分

• 2.1 數值積分基本原理
  現有：
  
  在求任意函數f(x)在[a，b]上的定積分時，可以尋找一個在[a，b]上與f(x)逼近，但形式上卻簡單且易於求積分的函數p(x)，用p(x)在[a，b]上的積分值近似地代替f(x)在[a，b]上的積分值，一般選擇被積函數的插值多項式充當這樣的替代函數。選擇的插值多項式的次數不同，就形成了不同的數值積分公式。
  對被積函數f(x)採用一、二次多項式插值，然後對插值多項式求積分，就得到了幾個常見的數值積分公式：
  

• 2.2 數值積分的實現

1. 基於變步長辛普森法，MATLAB給出了quad函數和quadl函數來求定積分。函數的調用格式爲：
   [I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)
[I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)

   filename：被積函數名；
   a和b：定積分的下限和上限，
   tol：用來控制積分精度，默認時取tol=10-6；
   trace：控制是否展現積分過程，若取非0則展現積分過程，取0則不展現，默認時取trace=0；
   I：定積分值，
   n：被積函數的調用次數。

   例：就下列函數積分
   

   例： 分別用quad函數和quadl函數求函數的近似值，並在相同的積分精度下，比較函數的調用次數。
   

2．自適應積分法

• MATLAB提供了基於全局自適應積分算法的integral函數來求定積分，函數的調用格式爲：
  I=integral(filename,a,b)
其中，I是計算得到的積分；filename是被積函數；a和b分別是定積分的下限和上限，積分限可以爲無窮大 。

例：求下列積分函數

3．高斯-克朗羅德法

• MATLAB提供了基於自適應高斯-克朗羅德法的quadgk函數來求振盪函數的定積分。該函數的調用格式爲
  [I,err]=quadgk(filename,a,b)

  其中，err返回近似誤差範圍，其他參數的含義和用法與quad函數相同。積分上下限可以是−Inf或Inf，也可以是複數。如果積分上下限是複數，則quadgk在複平面上求積分。

求下列積分函數：

4．梯形積分法

• 在科學實驗和工程應用中，函數關係表達式往往是不知道的，只有實驗測定的一組樣本點和樣本值，這時，人們就無法使用quad等函數計算其定積分。在MATLAB中，對由表格形式定義的函數關係的求定積分問題用梯形積分函數trapz，其調用格式爲：
  I=trapz(X,Y)
  其中，向量X、Y定義函數關係Y = f(X)。X、Y是兩個等長的向量：X = (x1，x2，…，xn)，Y = (y1，y2，…，yn)，並且x1<x2<…<xn，積分區間是[x1，xn]。

例：求下列積分函數

5．累計梯形積分

• 在MATLAB中，提供了對數據積分逐步累計的函數cumtrapz。該函數調用格式如下。
  Z=cumtrapz(Y)
Z=cumtrapz(X,Y)

  對於向量Y，Z是一個與Y等長的向量；對於矩陣Y，Z是一個與Y相同大小的矩陣，累計計算Y每列的積分。函數其他參數的含義和用法與trapz函數的相同。

  例：
  

2.3 多重定積分的數值求解

• 重積分的被積函數是二元函數或三元函數，積分範圍是平面上的一個區域或空間中的一個區域。
  MATLAB提供的integral2、quad2d、dblquad、integral3、triplequad函數用於求函數 的數值解。函數的調用格式爲：
  I=integral2(filename,a,b,c,d)
I=quad2d(filename,a,b,c,d)
I=dblquad(filename,a,b,c,d,tol)
I=integral3(filename,a,b,c,d,e,f)
I=triplequad(filename,a,b,c,d,e,f,tol)

  例：二重積分：
  
  

  例題：
  
  

3. 離散傅里葉變換

• MATLAB提供了一套計算快速傅里葉變換的函數，它們包括求一維、二維和N維離散傅里葉變換函數fft、fft2和fftn，還包括求上述各維離散傅里葉變換的逆變換函數ifft、ifft2和ifftn等。
  MATLAB提供了對向量或直接對矩陣進行離散傅里葉變換的函數。
  以一維離散傅里葉變換函數爲例：其調用格式爲：
  
  取N=128，對t從0~1s採樣，用fft函數作快速傅里葉變換，繪製相應的振幅—頻率圖。
  
  求X的快速傅里葉逆變換：