Matlab数值微分与数值积分

1. 数值微分

• 1.1 数值差分与差商
  任意函数f(x)在x点的导数是通过极限定义的：
  
  如果去掉上述等式右端的h→0的极限过程，并引进记号就形成了差分方程，以下分别是在x点处以h（h>0）为步长的向前差分、向后差分和中心差分。
  
  当步长h充分小时，称△f(x)/h、▽f(x)/h及 δf(x)/h分别为函数在x点处以h（h>0）为步长的向前差商、向后差商和中心差商。

• 1.2 数值微分的实现
  有两种方式计算任意函数f(x)在给定点x的数值导数：
  ① 用多项式或样条函数g(x)对f(x)进行逼近（插值或拟合），然后用逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在点x处的导数；
  ② 用f(x)在点x处的某种差商作为其导数。

  在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：
  ① DX=diff(X)： 计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1，2，…，n-1。
  ② DX=diff(X,n)： 计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。
  ③ DX=diff(A,n,dim)： 计算矩阵A的n阶差分，dim=1时（默认状态），按列计算差分；dim=2，按行计算差分。

例: 设x由[0，2π]间均匀分布的6个点组成，求sinx的1~3阶差分。

例：用不同的方法求下列函数f(x)的数值导数，并在同一个座标系中做出f '(x)的图像。

2. 数值积分

• 2.1 数值积分基本原理
  现有：
  
  在求任意函数f(x)在[a，b]上的定积分时，可以寻找一个在[a，b]上与f(x)逼近，但形式上却简单且易于求积分的函数p(x)，用p(x)在[a，b]上的积分值近似地代替f(x)在[a，b]上的积分值，一般选择被积函数的插值多项式充当这样的替代函数。选择的插值多项式的次数不同，就形成了不同的数值积分公式。
  对被积函数f(x)采用一、二次多项式插值，然后对插值多项式求积分，就得到了几个常见的数值积分公式：
  

• 2.2 数值积分的实现

1. 基于变步长辛普森法，MATLAB给出了quad函数和quadl函数来求定积分。函数的调用格式为：
   [I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)
[I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)

   filename：被积函数名；
   a和b：定积分的下限和上限，
   tol：用来控制积分精度，默认时取tol=10-6；
   trace：控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace=0；
   I：定积分值，
   n：被积函数的调用次数。

   例：就下列函数积分
   

   例： 分别用quad函数和quadl函数求函数的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。
   

2．自适应积分法

• MATLAB提供了基于全局自适应积分算法的integral函数来求定积分，函数的调用格式为：
  I=integral(filename,a,b)
其中，I是计算得到的积分；filename是被积函数；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限可以为无穷大 。

例：求下列积分函数

3．高斯-克朗罗德法

• MATLAB提供了基于自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来求振荡函数的定积分。该函数的调用格式为
  [I,err]=quadgk(filename,a,b)

  其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是−Inf或Inf，也可以是复数。如果积分上下限是复数，则quadgk在复平面上求积分。

求下列积分函数：

4．梯形积分法

• 在科学实验和工程应用中，函数关系表达式往往是不知道的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时，人们就无法使用quad等函数计算其定积分。在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用梯形积分函数trapz，其调用格式为：
  I=trapz(X,Y)
  其中，向量X、Y定义函数关系Y = f(X)。X、Y是两个等长的向量：X = (x1，x2，…，xn)，Y = (y1，y2，…，yn)，并且x1<x2<…<xn，积分区间是[x1，xn]。

例：求下列积分函数

5．累计梯形积分

• 在MATLAB中，提供了对数据积分逐步累计的函数cumtrapz。该函数调用格式如下。
  Z=cumtrapz(Y)
Z=cumtrapz(X,Y)

  对于向量Y，Z是一个与Y等长的向量；对于矩阵Y，Z是一个与Y相同大小的矩阵，累计计算Y每列的积分。函数其他参数的含义和用法与trapz函数的相同。

  例：
  

2.3 多重定积分的数值求解

• 重积分的被积函数是二元函数或三元函数，积分范围是平面上的一个区域或空间中的一个区域。
  MATLAB提供的integral2、quad2d、dblquad、integral3、triplequad函数用于求函数 的数值解。函数的调用格式为：
  I=integral2(filename,a,b,c,d)
I=quad2d(filename,a,b,c,d)
I=dblquad(filename,a,b,c,d,tol)
I=integral3(filename,a,b,c,d,e,f)
I=triplequad(filename,a,b,c,d,e,f,tol)

  例：二重积分：
  
  

  例题：
  
  

3. 离散傅里叶变换

• MATLAB提供了一套计算快速傅里叶变换的函数，它们包括求一维、二维和N维离散傅里叶变换函数fft、fft2和fftn，还包括求上述各维离散傅里叶变换的逆变换函数ifft、ifft2和ifftn等。
  MATLAB提供了对向量或直接对矩阵进行离散傅里叶变换的函数。
  以一维离散傅里叶变换函数为例：其调用格式为：
  
  取N=128，对t从0~1s采样，用fft函数作快速傅里叶变换，绘制相应的振幅—频率图。
  
  求X的快速傅里叶逆变换：