leetcode: sqrtx [x 的平方根] 二分法、递归法

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计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:
输入: 4
输出: 2

示例 2:
输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842..., 
     由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
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看到这个题目，好像没啥思路，然后去 Google 了一下求平方根的算法：

For a natural number x (i.e. x ∈ {0,1,2,3,...}),
the integer square root of x is defined as the natural number r such that r**2 ≤ x < (r + 1)**2.
It is the greatest r such that r**2 ≤ x, or equivalently, the least r such that (r + 1)**2 > x.

我第一想到的是用 二分法 来实现，我的解法：

# Python3
class Solution:
    def average(self, x, y):
        return (x + y) / 2

    def mySqrt(self, x: int) -> int:
        smaller, bigger = 1, x
        middle = self.average(smaller, bigger)
        while True:
            if middle ** 2 > x:
                bigger = middle
                middle = self.average(smaller, middle)
            else:
                smaller = middle
                middle = self.average(middle, bigger)
            if x <= middle ** 2 < x + 1:
                break
        return middle // 1

if __name__ == '__main__':
    s = Solution()
    assert s.mySqrt(1) == 1
    assert s.mySqrt(4) == 2
    assert s.mySqrt(8) == 2
    assert s.mySqrt(9) == 3

在leetcode上提交结果：

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搜索到另一种方法，通过推理发现规律，然后使用递归法：

可以看出，x 的平方根和 x-1 的平方根有关系，有时候它们相同，有时候后者比前者多1。因此，可以写一个递归算法。（不过此算法在leetcode上提交后超时了）

# Python3
class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        if x == 0:
            return 0
        else:
            r2 = self.mySqrt(x - 1)
            r3 = r2 + 1
            if x < r3 ** 2:
                return r2
            else:
                return r3

还有其他更优的方法，能力有限，看不懂了，毕竟是 Cornell University 的网站上的。

Reference (需要能使用Google才能访问，so …)