目錄
一、圖的定義
圖G由頂點集V和邊集E組成，記G=（V,E），其中V（G）表示圖G中頂點的有限非空集；E（G）表示圖G中頂點之間的關係（邊）集合。若V={V1,V2....Vn}，則用|V|表示圖G中頂點的個數，也稱圖G的階，E={（u，v）| u∈V，v∈V}，用|E|表示圖G中邊的條數。
注：線性表可以是空表，樹可以是空樹，但圖不可以是空，即V一定是非空集
二、圖邏輯結構的應用
三、無向圖、有向圖
若E是無向邊（簡稱邊）的有限集合時，則圖G爲無向圖。邊是頂點的無序對，記爲（v,w）或（w,v），其中v、w是頂點。可以說頂點w和頂點v互爲鄰接點。邊（v,w）依附於頂點w和v，或者說邊（v,w）和頂點v、w相關聯。
G1 = （V1,E1）
V1 = {A,B,C,D,E}
E2 = {（A,B），（B,D），（B,E），（C,D），（C,E），（D,E）}
若E是有向邊（也稱弧）的有限集合時，則圖G爲有向圖。弧是頂點的有序對，記爲<v,w>，其中v、w是頂點，v稱爲弧尾，w稱爲弧頭，<v,w>稱爲從頂點v到頂點w的弧，也稱v鄰接到w，或w鄰接自v。<v,w>≠<w,v>
G2 = （V2，E2）
V2 = （A,B,C,D,E）
E2 = {<A，B>，<A，C>，<A，D>，<A，E>，<B，A>，<B，C>，<B，E>，<C，D>}
四、簡單圖、多重圖
簡單圖——①不存在重複邊；②不存在頂點到自身的邊
多重圖——圖G中某兩個節點之間的邊數多以一條，又允許頂點通過同一條邊和自己關聯，則G爲多重圖。
五、頂點的度、入度、出度
無向圖
頂點v的度是指依附於該頂點的邊的條數，記爲TD（v）。在具有n個頂點、e條邊的無向圖中，
，即無向圖的全部頂點的度的和等於邊數的2倍。
有向圖
入度是以頂點v爲終點的有向邊的數目，記爲ID（v）；
出度是以頂點v爲起點的有向邊的數據，記爲OD（v）。
頂點v的度等於其入度和出度之和，即TD（v） = ID（v） + OD（v）。
在具有n個頂點、e條邊的有向圖中，
六、頂點-頂點的關係描述
路徑——頂點vp到頂點vq之間的一條路徑是指頂點序列vp,vk.....vq
迴路——第一個頂點和最後一個頂點相同的路徑稱爲迴路或環
簡單路徑——在路徑序列中，頂點不重複出現的路徑稱爲簡單路徑
簡單迴路——除第一個頂點和最後一個頂點外，其餘頂點不重複出現的迴路稱爲簡單迴路。
路徑長度——路徑上邊的數目
點到點的距離——從頂點u出發到頂點v的最短路徑若存在，則此路徑的長度稱爲從u到v的距離。若從u到v根本不存在路徑，則記爲無窮。
無向圖中，若從頂點v到頂點w有路徑存在，則稱v和w是連通的
有向圖中，若從頂點v到頂點w和從頂點w到頂點v之間都有路徑，則稱這兩個頂點是強連通的
七、連通圖、強連通圖
若圖G中任意兩個頂點都是連通的，則稱圖G爲連通圖，否則稱爲非連通圖。
常見考點：
對於n個頂點的無向圖G
①若G是連通圖，則最少有n-1條邊
②若G是非連通圖，則最多可能有
條邊。
若圖中任何一對頂點都是強連通的，則稱此圖爲強連通圖。
常見考點：
對於n個頂點的有向圖G
若G是強連通圖，則最少有n條邊（形成迴路）
八、研究圖的局部——子圖
設有兩個圖G=（V，E） =和G' =（V'，E'），若V'是V的子集，且E'是E的子集，則稱G'是G的子圖。
若有滿足V（G'） = V（G）的子圖G'，則稱其爲G的生成子圖。
注：並非任意挑幾個點、幾條邊都能構成子圖
九、連通分量、強連通分量
極大連通子圖——子圖必須連通，且包含儘可能多的頂點和邊
無向圖中的極大連通子圖稱爲連通分量
極大強連通子圖——子圖必須強連通，同時保留儘可能多的邊
有向圖中的極大強連通子圖稱爲有向圖的強連通分量
十、生成樹
極小連通子圖——邊儘可能的少，但要保持連通
連通圖的生成樹是包含圖中全部頂點的一個極小連通子圖
若圖中頂點樹爲n，則它的生成樹含有n - 1條邊。對生成樹而言，若砍去它的一條邊，則會變成非連通圖，若加上一條邊則會形成一個迴路。
十一、生成森林
在非連通圖中，連通分量的生成樹構成了非連通圖的生成森林。
十二、邊的權、帶權圖/網
邊的權——在一個圖中，每條邊都可以標上具有某種含義的數值，該數值稱爲該邊的權值。
帶權圖/網——邊上帶有權值的圖稱爲帶權圖，也稱網。
帶權路徑長度——當圖是帶權圖時，一條路徑上所有邊的權值之和，稱爲該路徑的帶權路徑長度
十三、帶權圖的應用舉例
十四、幾種特殊形態的圖
無向完全圖——無向圖中任意兩個頂點之間都存在邊
若無向圖的頂點樹|V| = n,則
有向完全圖——有向圖中任意兩個頂點之間都存在方向相反的兩條弧
若有向圖的頂點樹|V| = n，則
稀疏圖——邊數很少的圖
稠密圖——邊數很多的圖
樹——不存在迴路，且連通的無向圖
有向圖——一個頂點的入度爲0，其餘頂點的入度均爲1的有向圖
常見考點
n個頂點的樹，必有n-1條邊
n個頂點的圖，若|E| > n - 1 ，則一定有迴路
十五、總結
